ویژگی‌های ریاضی

ویژگی‌های بنیادی ریاضیات را می‌توان حتی با آشنایی خیلی سطحی هم مشاهده کرد. این ویژگی‌ها عبارتند از: انتراعی بودن ، دقت منطقی ، الزامی بودن نتیجه‌های آن و سرانجام وسعت بی‌اندازه‌ی کاربردهای آن.

انتزاعی بودن حتی در حساب ساده هم دیده می‌شود. ما از اعداد به صورت مجرد استفاده می‌کنیم بدون اینکه به ارتباط آن‌ها با اشیاء توجه کنیم. مثلا در مدرسه جدول ضرب را به روش انتزاعی یاد می‌گیریم و عددها را در هم ضرب می‌کنیم ، نه عده‌ی بچه‌ها را در عده‌ی سیب‌ها و یا عده‌ی سیب‌ها را در بهای آن‌ها.

در هندسه هم ، وضع به همین گونه است. مثلا وقتی خط راست بررسی می‌شود ، از نخی که محکم کشیده شده همه‌ی ویژگی‌های آن بجز داشتن امتداد ، کنار گذاشته می‌شود. اگر از یک شیء واقعی همه‌ی ویژگی‌ها بجز شکل هندسی بدست می‌آید ، این گونه انتزاع‌ها ویژه‌ی همه‌ی بخش‌های ریاضیات است و دو مفهوم عدد درست و شکل هندسی ، نخستین و ساده‌ترین آن‌ها را تشکیل می‌دهند. پس از این دو مفهوم ساده ، انتزاع‌های فراوان دیگری قرار دارد که به سختی می‌توان آن‌ها را توضیح داد و این انتزاعی بودن به جایی می‌رسد که عددهای مختلط ، تابع‌ها ، دیفرانسیل‌ها ، فضاهای n بعدی و غیره را به وجود می‌آورد. این مفاهیم از نظر انتزاعی بودن در سطوح مختلفی قرار دارند و به نظر می‌رسد که هیچگونه ارتباطی با زندگی ندارند ، تا جایی که در نظر یک آدم ساده و معمولی «چیزی درباره‌ی آن‌ها نمی‌توان گفت ، بجز اینکه همه‌ی آن‌ها نامفهومند» البته در حقیقت این طور نیست.

ریاضی از نظر انتزاعی بودن از سایر دانش‌های طبیعی جلوتر است و به نظر می‌آید که تنها در محدوده‌ی مفاهیم انتزاعی و ارتباط آن‌ها با یکدیگر دور می‌زند. اگر یک دانشمند علوم طبیعی برای اثبات نظر خود پیوسته به آزمایش مراجعه می‌کند ، یک ریاضیدان قضایا را تنها از راه محاسبه و استدلال ثابت می‌کند. البته ریاضیدان‌ها هم ، برای کشف قضایا و روش‌هایی که بکار می‌برند ، پیوسته از نمونه‌ها و هم‌ارزهای فیزیکی آن‌ها استفاده می‌کنند و به مثال‌های جداگانه‌ی فراوانی که کاملا روشن باشد ، مراجعه می‌کنند.

همه‌ی این‌ها کمک می‌کند تا قضیه‌ای کشف و یا سرچشمه‌ی حقیقی آن روشن شود. ولی یک قضیه تنها وقتی در ریاضیات دارای ارزش می‌باشد که با استدلال منطقی اثبات شده باشد ، اگر هندسه‌دانی که درباره‌ی قضیه‌ی تازه‌اش گزارش می‌دهد ، تنها به نمایش روی یک نمونه اکتفا کند ، هیچ ریاضیدانی آن را اثبات شده تلقی نخواهد کرد. لزوم اثبات قضیه‌ها ، که در هندسه‌ی دبیرستانی هم به خوبی دیده می‌شود ، در مورد همه‌ی مباحث ریاضی وجود دارد. ما می‌توانیم دو زاویه‌ی مجاور به قاعده را در هزاران مثلث متساوی‌الساقین با دقت کامل اندازه بگیریم ولی از این اندازه‌گیری‌ها نمی‌توان نتیجه گرفت که دو زاویه‌ی مجاور به قاعده‌مثلث متساوی‌الساقین با هم برابرند ، بلکه این نتیجه را باید از مفاهیم بنیانی هندسه بیرون کشید.

به این ترتیب اثبات یک قضیه در نظر یک ریاضیدان یعنی اینکه درستی آن از راه بحث درباره‌ی ویژگی‌های ابتدایی مفاهیم مورد استفاده در قضیه ثابت شود. بنابراین نه تنها مفاهیم ریاضی ، بلکه روش‌های آن نیز انتزاعی و ذهنی است.

یکی از خصوصیات نتیجه‌گیری‌های ریاضی ، دقت منطقی و بی‌اندازه‌ی آن‌هاست. استدلال‌های ریاضی دارای آنچنان دقتی است که برای هر کسی که آن را بفهمد ، قانع کننده است. این مطلب در ریاضیات دبیرستانی هم کاملا به چشم می‌خورد.

ریاضیات پیش می‌رود و قانون‌های آن منجمد نمی‌ماند. قانون‌های ریاضی تغییر می‌کنند و می‌توانند به موضوعات مورد بحث در دانش‌های مختلف خدمت کنند و خدمت هم می‌کنند.

سرچشمه‌ی حیات ریاضیات در اینجاست که مفاهیم و نتیجه‌های آن ، با همه‌ی انتزاعی بودنشان ، ناشی از واقعیات بوده و کاربرد فراوانی در سایر دانش‌ها ، صنعت و همه‌ی زمینه‌های مربوط به زندگی بشر ، پیدا می‌کند و این مهم‌ترین مطلب برای درک ریاضیات است.

گسترش استثنایی و بی‌اندازه‌ی کاربرد ریاضیات هم یکی از ویژگی‌های آن می‌باشد. ما همیشه و همواره در زندگی گسترده‌ترین و عمومی‌ترین مفاهیم و نتایج ریاضی را بکار می‌بریم بدون اینکه درباره‌ی آن‌ها فکر کنیم. به این ترتیب که وقتی حساب روزها و یا خرج زندگی را نگاه می‌داریم ، از حساب و وقتی که مساحت یک فرش و یا یک اتاق را محاسبه می‌کنیم ، از هندسه بهره می‌گیریم. این نتایج خیلی ساده‌اند ولی یادآوری این مطلب مفید است که در دوره‌های باستان ، زمانی که ریاضیات تازه به وجود آمده بود ، این‌ها در ردیف بزرگ‌ترین پیشرفت به شمار می‌آمدند.

پیشرفت صنعت امروز بدون وجود ریاضی امکان‌پذیر نیست ، بدون محاسبه‌های کم و بیش دشوار هیچ پیشرفت فنی به انجام نمی‌رسد و این ریاضیات است که در پیشبرد رشته‌های صنعتی نقش بسیار مهمی دارد.

با نام بردن این ویژگی‌ها ، ماهیت ریاضیات را روشن نکردیم بلکه به آثار خارجی آن توجه نموده‌ایم اما اگر بخواهیم ماهیت این ویژگی‌ها را روشن کنیم باید به پرسش‌های زیر پاسخ دهیم:

·         مفاهیم انتزاعی چه چیزی را بازتاب می‌کند؟

·         به عبارت دیگر موضوع واقعی ریاضیات چیست؟

·         چرا نتیجه‌گیری‌های انتزاعی ، تا این اندازه قانع کننده و مفهوم‌های نخستین آن ، تا این اندازه روشن است؟

·         به زبان ساده‌تر ؛ بنیان روش ریاضی در چیست؟

·         چرا ریاضیات ، با وجود انتزاعی بودنش تنها یک بازی سرگرم کننده‌ی مفاهیم مجرد نیست و گسترده‌ترین کاربردها را پیدا می‌کند؟

·         به زبان ساده‌تر ؛ اهمیت ریاضیات از کجا ناشی می‌شود؟

·         سرانجام ، چه نیروهایی ریاضیات را به جلو می‌برند و به آن اجازه می‌دهند که انتزاع را با کاربرد گسترده‌ی آن به هم مربوط کند؟

·         به عبارت دیگر ؛ روند پیشرفت ریاضیات در چیست؟

با پاسخ دادن به این پرسش‌ها ، می‌توانیم تصویری کلی درباره‌ی ریاضی و اهمیت و پیشرفت آن بدست آوریم ، یعنی ماهیت آن را بشناسیم.

منبع: ریاضیات ، محتوی ، روش و اهمیت آن - آ . د . الکساندروف نیکولکسی - ترجمه‌ی پرویز شهریاری