معادله ها

معادله ها


۱-معادله ماکسول

معادله‌های ماکسول، یک سری معادله هایی هستند که چگونگی ایجاد شدن میدان های الکتریکی و مغناطیسی را توسط بارها و جریانات به علاوه پیدایش یکی از این میدان‌ها توسط تغییر میدان دیگر را توصیف می‌کنند. این معادله‌ها مبانی الکترومغناطیسی (کلاسیک) و مهندسی برق  به شمار می‌روند که اولین بار توسط فیزیکدان اسکاتلندی جیمز کلرک ماکسول  فرمول‌بندی شده‌اند. انواع فرمولبندی برای این معادله ها می‌توان ارائه داد.خود ماکسول این معادلات را در قالب ۸ معادله فرمولبندی کرده بود ولی در حالت ۳ بعدی مشهورترین فرمول بندی فرمول‌بندی هوی‌ساید این معادلات است که دو فرم دیفرانسیلی  و انتگرالی دارد.

 

۲-معادله دیراک

 

معادله دیراک، معادله‌ای است در مکانیک کوانتومی  و تعمیم‌یافته معادله شرودینگر برای محاسبه تابع موجی ذرّات، با این تفاوت که این معادله نظریه نسبیت خاص را نیزدر نظر می‌گیرد. این معادله توسط فیزیکدان بریتانیایی پاول دیراک پدید آمد که خود دیراک این معادله را بر مبنای معادله کلاین گوردن گسترش داد.

معادله دیراک، تابع موجی ذرّات با اسپین  نیمه یعنی فرمیون ها را (مانند الکترون ها) توجیه می‌کند، در حالی که معادله کلاین-گوردون برای ذرّات با اسپین صفر (مانند بعضی مزون ها) در نظر گرفته می‌شود. دیراک همچنین توانست با معادله‌اش ، موجودیت ضدماده به خصوص پوزیترون را سه سال قبل از کشف آنها توسط آزمایش نشان دهد. معادله دیراک در صورتی که هیچ نیروی خارجی وجود نداشته باشد به صورت زیر نوشته می‌شود:

left( i gamma ^mu partial _mu - frac{mc}{hbar}
ight) psi = left( i partial!!!/ - frac{mc}{hbar} 
ight) psi = 0

در اینجا partial!!!/ = gamma ^mu partial _mu توسط قاعده جمعی انیشتین جمع‌بندی می‌شود و γμ ماتریس‌های ۴×۴ هستند که به ماترس های دیراک  مشهور هستند.

 
gamma _0 = eta = egin{pmatrix} 
1 & 0 
0 & -1
  end{pmatrix} ;; 

gamma _k = eta alpha _k = egin{pmatrix} 
  0               & sigma _n 
 -sigma _n   & 0 
  end{pmatrix}

σn نیز ماتریس های پاولی نام دارند.

 

۳-معادله شرودینگر

 

معادلهٔ شرودینگر، اساسی‌ترین معادله غیر نسبیتی در مکانیک کوانتومی  برای توصیف تحول حالت (state) یک ذره است. معادله شرودینگر سال ۱۹۲۶توسط اروین شرودینگر به ثبت رسید و پس از او نیز هایزنبرگ معادله برابری را به صورت عملگرهای خطی و عملگرهای جابجایی به وجود آورد. معادله شرودینگر در حالت ساده به صورت زیر است:

 H(t) left| psi (t) 
ight
angle = i hbar {partialoverpartial t} left| psi (t) 
ight
angle

در اینجا H یک عملگر خطی در فضای (اصولاً بینهایت بعدی) هیلبرت است و عملگر همیلتونی  نام دارد. ویژه مقدار های (eigenvalue) این نگاشت اصولاً مقادیر کوانتومی انرژی هستند. ‎ |ψ>‎, یک بردار در فضایِ هیلبرت است، که حالت ذره را توصیف می‌کند. اگر این بردار را به صورت یک تابع زمان و مکان بنویسیم، معادله شرودینگر چنین حالتی پیدا می‌کند:

mathrm{i}hbarfrac{partial}{partial t}psi(mathbf{r},t) ;=; - frac{hbar^2}{2m}
abla^2psi(mathbf{r},t) + V(mathbf{r},t)psi(mathbf{r},t)

البته اگر ما ‎|ψn>‎ را به عنوان ویژه بردارH انتخاب کنیم، آن وقت این معادله دیگر متغیر زمانی نخواهد داشت:

 H |psi_n(x)
ang = E_n |psi_n(x)
ang.

با در نظر گرفتن نظریه نسبیت خاص ، معادلهٔ شرودینگر دیگر صادق نیست ودر این حالت از معادله دیراک که کلی‌تر است استفاده می‌شود.

 

۴-معادله کلاین گوردون

 

معادله کلاین گوردون، حالت نسبی معادله شرودینگر  است و برای توجیه ذرات کوانتومی با اسپین صفر به کار می‌رود. این معادله به اسم دو فیزیکدان به نامهای اسکار کلاین  و  والتر گوردون  نامگذاری شده است.

 معادله

معادله کلاین-گوردون برای یک ذره آزاد (یعنی بدون وجود پتانسیل در همیلتونی) با اسپین صفر به صورت زیر است.

 
mathbf{
abla}^2psi-frac{1}{c^2}frac{partial^2}{partial t^2}psi
= frac{m^2c^2}{hbar^2}psi