اعداد

اعداد

---

۱-اعداد جبری

اعداد جبری (طبق اصطلاحی که کرونکر  ریاضی دان آلمانی بکار برد)، اعدادی هستند که جواب معادله ‌ای به شکل زیر باشند:

 a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + ··· + a₁x + a₀ = 0

ضریب‌های a₀ تا a_n در این معادله چند جمله ای اعداد گویا هستند.

اگر a_n = 1، به ریشه های معادلهٔ بالا عدد جبری صحیح گویند.

برای مثال تمام اعداد گویا عدد جبری هم هستند. همچنین به راحتی ثابت میشود که اعداد جبری شمارش پذیر هستند.

۲-اعداد حقیقی

مجموعه ی همۀ اعداد گویا و اعداد گنگ با یک‌دیگر را اعداد حقیقی (Real numbers) می‌گویند، که با نمایش داده می شود. اعداد حقیقی را می‌توان با اضافه کردن عدد موهومی () بسط داد. اعدادی به فرم a + bi را که در آن‌ها a و b هر دو عدد حقیقی هستند، اعداد مختلط می‌نامند.

۳-اعداد مختلط

عدد مختلط، در ریاضیات، عددی به شکل

است که a و b اعداد حقیقی‌اند و i یکه‌ی موهومی با خصوصیت i² = -1 است. به عدد حقیقی a قسمت حقیقی گفته می‌شود و به عدد حقیقی b قسمت موهومی.

اعداد حقیقی نیز می‌توانند به عنوان اعداد مختلط با قسمت موهومی 0 در نظر گرفته شوند، یعنی عدد حقیقی a معادل است با عدد مختلط a + 0i.

به عنوان مثال 3 + 2i یک عدد مختلط است با قسمت حقیقی 3 و قسمت موهومی 2. اگز z = a + bi آنگاه a را با Re(z) و b را با Im(z) نشان می‌دهند.

اعداد مختلط مانند اعداد حقیقی می‌توانند جمع، تفریق، ضرب، و تقسیم شوند، ولی آنها خصوصیات منحربفرد اضافه‌تری نیز دارند. به عنوان مثال اعداد حقیقی به تنهایی جوابی برای هر چند جمله ای جبری با ضرایب حقیقی فراهم نمی‌کنند، ولی اعداد مختلط چرا (قضیه اساسی جبر).

تاریخچه

یکی از مهمترین ویژگیهای اعداد حقیقی این است که در آنها اعمال جمع، تفریق، ضرب و تقسیم (به استثنای تقسیم برصفر) را می توان انجام داد. بدین سبب است که معادله خطی کلی ax + b = 0 را می‌توان در حوزه اعداد حقیقی حل کرد و چنین نوشت: ax + b = 0. ولی وضعیت در مورد معادله درجه دوم کاملاً متفاوت است. به عنوان مثال معادله درجه دوم x² + 1 = 0 را در حوزه اعداد حقیقی نمی‌توان حل کردو x را به دست آورد. مربع یک عدد حقیقی نمی‌تواند عددی منفی باشد. در چنین وضعیتی حوزه دستگاه اعداد حقیقی را طوری توسعه می‌دهیم که چنین معادله‌هایی حل شدنی باشد. دستگاه اعداد را چنان توسعه می‌دهیم تا اعدادی مثل یعنی عددی را که مربعش ۱- است ، نیز در بر گیرد. این گونه اعداد با احساس شهودی ما اصلاً جور در نمی‌آیند و در گذشته بسیاری از ریاضیدانان با معرفی این گونه هیولاها مخالفت داشتند و از این رو آنها را اعداد انگاری نامیده‌اند . وضعیت تا سده هیجدهم به همین منوال بود تا اینکه لئوراد اویلر (1707-1783) با کارهای استادانه روی اعداد انگاری نتایج متعدد جالبی بدست آورد. ک.ف گاوس (1777-1855) با معرفی اعداد انگاری به صورت نقاط یک صفحه نام تازه اعداد مختلط را بر آنها نهاد و از آنها برای یافتن نتایجی چشمگیر از نظریه اعداد استفاده نمو د. از این طریق عضویت اعداد مختلط را در سلسه اعداد مسجل ساخت. تقریباً درهمان زمان ا.ل. کوشی (1789-1857)، هنگام تلاش در پیدا کردن روشی یکنواخت برای محاسبه انتگرال های معین، حساب دیفرانسیل و انتگرال توابع با متغیرهای مختلط را بررسی کرد. این امر سرآغاز نظریه توابعی بود که زمینه مساعدی برای کشف توابع بیضوی از سوی ن.ه. آبل (1802-1829) وکارل گوستاو یاکوبی  (1804-1851) را فراهم ساخت. علاوه بر این، بسط هندسه تصویری نشان داد که استفاده از اعداد مختلط در هندسه نیز امری اجتناب ناپذیر است. پیشرفت تحقیقات روشن کرده است که برای اینکه ریاضیات، حتی فقط حساب دیفرانسیل و انتگرال را به خوبی بفهمیم، محدودیت غیر طبیعی حوزه اعداد حقیقی به ما حکم می‌کند که برای دستیابی به مفاهیم یکنواختی و همسازی، اعداد مختلط را نیز دخالت دهیم.

 تعاریف

 برابری

 

دو عدد مختلط برابرند اگر و تنها اگر بخشهای حقیقی و موهومی آنها دو به دو با یکدیگر برابر باشند. یعنی a + bi = c + di اگر و تنها اگر a = c و b = d.

 نمادگذاری و اعمال جبری

 

مجموعه اعداد مختلط معمولا با C نشان داده می‌شود. اعداد مختلط نیز می‌توانند جمع، تفریق، وضرب شوند با در نظر گرفتن معادله‌ی i² = −

تقسیم اعداد مختلط نیز می‌تواند تعریف شود (پایین را ببینید). بنابراین مجموعه اعداد مختلط یک میدان تشکیل می‌دهد که، در مقایسه با اعداد حقیقی، به طور جبری بسته است.

 میدان مختلط

 

اعداد مختلط می‌توانند به صورت زوجهای مرتب (a, b) از اعداد حقیقی نیز تعریف شوند. با اعمال:

بنابراین اعداد مختلط تشکیل یک میدان می‌دهند، میدان مختلط، که با C نشان داده می‌شود.ازآنجایی که عدد مختلط a + bi به طور منحصربفرد با یک زوج مرتب (a, b) نمایش داده می‌شود، پس اعدادمختلط یک تناظر یک به یک با نقاط در صفحه دارند. به آن صفحه مختلط  گفته می‌شود. عدد حقیق a راباعدد مختلط (a, 0) نشان می‌دهیم و در این حالت میدان اعداد حقیقی R یک زیرمیدان از C می‌شود. واحد موهومی i عدد مختلط (0, 1) است. منظوراز تقسیم دو عدد مختلط یعنی یافتن عددی است مثل

 x + iy که در تساوی

a +ib = (c +id ).(x +iy)

صدق نماید ، پس از محاسبه رابطه بالا داریم

a +ib = (cx -dy)+i(dx +cy)

پس کافی است اعداد x و y را چنان پیدا کنیم که در روابط

dx + cy = b, cx - dy = a صدق کنند. این دستگاه معادلات یک جواب یکتای زیر را دارد:

مگر آنکه c = d = 0 بنابراین البته همین نتیجه را می‌توانستیم از ضرب صورت و مخرج کسر در

c - id

نیز بدست آوریم.