رکود بزرگ(depression ) سال ٢۰۰۹

جراید و مبلغان سرمایه داری مزورانه و با تلاشی بی سابقه می کوشند که واقعیت حاکم بر اقتصاد سرمایه داری جهانی را از دید مردم بپوشانند و در راستای منافع سرمایه داران٬ از اهمیت تحولات اخیر بکاهند و واقعیت موجود و آنچه در راه است را٬ لااقل فعلا٬ از چشم مردم دور نگه دارند. همه این جراید از بکار بردن کلمه دیپرشن (Depression) یا رکود عظیم پرهیز می کنند و از ترس آنکه مردم جلوی بانک ها صف بکشند تا پولهایشان را در بیاورند و خرج نکنند و هرج و مرج سرمایه داری بسیار وسیع تر شود٬ این جراید کماکان وانمود میکنند که اتفاقی نخواهد افتاد.

اما واقعیت اینست که دیپرشن مدتی است که شروع شده و چیزی جلودارش نیست.

دیپرشن حاصل تضادهای درونی سیستم سرمایه داریست. بحران های سرمایه داری معلول گرایش نزولی نرخ سود و برهم خوردن ترکیب ارگانیک سرمایه و مشخصا به دلیل بالا رفتن حجم سرمایه متغیر که جزو ذات سرمایه داری می باشد٬ هست. سرمایه داری برای ادامه زندگی مجبور به تو لید هرچه بیشتر سود هست و همواره مجبور است ترکیب ارگانیک سرمایه را برای تولید سودآوری بیشتر تغییر بدهد (نرخ سود =نسبت ارزش اضافه تولید شده به جمع سرمایه ثابت و سرمایه متغیر) زیرا برای سودآوری بیشتر به اتوماسیون و بارآواری بخش ثابت سرمایه روی می آورد و همین باعث بی کاری و عدم توان خرید مردم (که بخش اصلی سرمایه متغیر را تشکیل می دهد٬ می گردد و این همان پاشنه آشیل سرمایه داری هست. و علت تمامی بحران های عظیم سرمایه داری که تا به نحوی (با جنگ و گسترش بازارهای جدید از سر گذرانده-اما دیگر اینها نیز کارساز نیستند) در طول تاریخ سرمایه داری که حدود سیصد چهارصد سال میباشد دیپرشن های متعددی آمدند و رفتند.

این یکی هم مثل بقیه تمام دنیا را به آتش کشیده است. از آمریکا تا آرژانتین از کویت تا پاکستان و فیلیپین و کره از اکرایین تا ایسلند و مجارستان و .... دیپرشن قبلی را با جنگ جهانی دوم خاتمه دادند. و هم اکنون صحبت جنگ خانمان سوز دیگریست. اما آیا اینبار سرمایه جهانی قادر است خود را از این مهلکه نجات دهد؟ بعید بنظر میرسد.

آیا میتواند جنگ جهانی سوم را به راه بیندازد. بعید بنظر میرسد.

صد البته که کشورهای آسیای میانه و سرق اوسط هم مصون نمانده و نخواهند ماند. نفت٬ شریان حیاتی رژیم٬ از بشکه ای ١٤٧ به ٦٢ دلار برای هر بشکه سقوط کرده است و انتظار میرود که با توجه به قوی تر شدن دلار امریکا و فروپاشی اقتصادی سرمایه داری در سطح جهان٬ قیمت نفت تا زیر ٥۰ دلار هم برسد. برای این مردم و بالخصوص مردم ایران که سالهاست زیر فشار تورم٬ کمر خم کرده اند٬ این سقوط درآمد نفت با شدت بیشتری عمل خواهد کرد. فراموش نکنیم که قیام بهمن ماه با تورم جهانی و فشار بر حکومت شتمشاهی به نقطه اوج رسید.

دولت های آمریکایی و اروپایی فکر میکنند که میتوانند جلوی این رکود بزرگ را بگیرند و از اینرو مرتب با ترفندهای جدید در بازار سرمایه مداخله میکنند و تا به حال تریلیون ها (یک تریلیون1000000000000= ) دلار پول ملتها را خرج سرمایه ها بخصوص سرمایه های مالی کرده و میکنند.

دیروز دوشنبه ٦ آبان (٢٧ اکتبر ٢۰۰٨) نیز شاخص اصلی بورس سهام آمریکا٬ دویست واحد سقوط کرد. دولت آمریکا در حال تصویب سرازیر کردن ١٢٥ میلیارد دلار دیگر به جیب ٩ بانک بزرگ آمریکایی هست تا شاید بتواند جلو بحران کنونی را بگیرد. قرارداد این همدستی بزرگ دولت آمریکا با بزرگترین سرمایه داران آن کشور اینبار نیز دزدانه٬ در پایان روز تعطیل یکشنبه و بدور از چشم مردم و اخبار به تصویب رسیده است. دولت آمریکا قصد دارد صد میلیارد از دارایی های "بد" (اینهم از ترمینولوژی های جدید سرمایه داری است) را بخرد

بازارهای جهانی همچنان در حال سقوط هستند. شاخص نی که (Nikkei ) ژاپن به پایین ترین سطح خود در ٢٦ سال اخیر رسید ( با ٦/٤ درصد سقوط)

دویچه بانک آلمان٬ بزرگترین بانک آلمان به نقل از بلومبرگ٬ حدود ٤۰۰ میلیون دلار ازدارایی های مشتقات خود را دست داده است. بازار هنگ کنگ ٧/١٢ در صد سقوط کرد

بازارهای آلمان و فرانسه و انگلستان نیز هر کدام سقوطی ٤ درصدی داشتند

بازار بورس شانگهای (Shanghai Composite Index ) ٣/٦ درصد سقوط داشت

در فیلیپین نیز٬ سقوط ٣/١٢ درصد بود.

توجه کرده اید که دیگر صحبت از میلیون یا میلیارد دلار نیست. سرمایه مالی در بیشتر جهان٬ مدتهاست که دست بالا را دارد و افراد خود را در مقام های مهم دولتی قرار داده است. اکنون شاهد آنیم که این بحران به کشورهای دیگر رسیده. بانکهای غربی حدود ٥/٢ تریلیون به کشورهای به اصطلاح در حال توسعه وام داده اند (منبع) که به تاریخ بازپرداخت آنها کمتر از یکسال مانده. روشن است که این امر (بازپس دهی وام ها) امکان پذیر نیست و این کشورها. مثل ایسلند فرو خواهند پاشید. در کشورهای به اصطلاح پیشرفته٬ قرض و بدهی تا خرخره مردم و شرکتها که سر به تریلیون ها دلار می زند٬ رسیده است. از یک طرف٬ قمار بورس از طریق بازار مشتقات (Derivatives) که حدود ٤٢0تریلیون در دنیا است و از طرف دیگر بیمه های CDS (Credit Default Swap) که آنها نیز تریلیون ها دلار هستند٬ هیچکدام قابل پرداخت نیستند. چه برسد به قرض های کشورهای در حال توسعه و عقب نگاه داشته شده.

بازارهای سرمایه از ایران گرفته تا تمام جهان سرمایه داری٬ با افت ٥۰ تا ٩۰ درصد شاخص بورسشان روبرو خواهند شد. این افت یکشبه اتفاق نخواهد افتاد. دولتها سعی خواهند کرد که جلوی این سقوط را بگیرند.

آیا می توان جلو جاذبه زمین را گرفت؟

استفاده از عدد پی (3.14 ) در ساخت بنای تخت جمشید !

 

روشهایی برای پس انداز نمودن پول

  

نامه ی یکی از دوستان :
"من مرد 37 ساله متاهلی هستم که دو فرزند کوچک دارم. از زمانیکه ازدواج کرده ام و دو فرزندم به دنیا آمدند، به نظر می رسد که اوضاع مالیم کمی به هم ریخته است. نمی دانم حق با من است یا نه، اما فکر می کنم قبلاً چیزها خیلی ارزانتر بود البته فکر نمی کنم تورم تنها اشکال کار باشد.
قبل از بدنیا آمدن بچه ها، من و همسرم می توانستیم باهم به مسافرت رفته و گه گاه شب ها برای صرف شام به رستوران برویم. اما الان حتی اجاره خانه را هم به زور تهیه می کنیم. آیا راهی برای ما وجود دارد تا بتوانیم از این اوضاع خلاص شویم؟"

حتی الامکان عاداتتان را تغییر دهید :
جمله کلیشه ای قدیمی هیچوقت از زبان ها نمی افتد : "قدیم ها چیزها خیلی ارزانتر بود." بله، مسلما فشار تورم روی ارزش پولی که به زحمت درآورده اید بی تاثیر نیست. درست است، قبلاً با هزار تومان پول رایج ایران خیلی چیزها می شد خرید. اما مردم معمولاً فراموش می کنند که ارزش پولشان بستگی به دورانی دارد که در آن زندگی می کنند. درست است که سی سال پیش میتوانستید با هزار تومان کلی چیز بخرید، اما حواستان باشد، جدای در نظر گرفتن نبود محور های یک اقتصاد سالم در جامعه ی فعلی، که متاسفانه مشکلات عدیده ای را بوجود آورده است، در زمان های قدیم اقلام مصرفی یک زندگی بدور از تشریفات و تجملات فعلی بود و در هر صورت نوعی کنترل قیمت هم از طرف دولت در بازار وجود داشت که بقول معروف از دیدگاه اقتصاد دانان اندیشمند ما الان شاید دیگر برای پرداختن به این مقوله خیلی دیر شده و انگار به مشکل لاینحلی تبدیل شده است چرا که هنوز هم چندان مسئله حادی از نظر دولتمردان تلقی نمی شود که بتوان انتظار به بهبود یافتن این اقتصاد پیچیده و ناسالم را داشت!
ولی به هر حال با در نظر گرفتن همه مشکلاتی که همه ما بنوعی در گیر آن هستیم که منشاء اصلی آن به یکسری نابسامانی های اقتصادی معطوف است و صرفنظر از دوران مصیبت باری که در آن زندگی می کنیم، لازم است که با روشهای اصلی پس انداز پول آشنا شوید که حتی المقدور سرمایه اندکی که به زحمت بدست می آورید به آسانی خرج نشود و حداقل اندوخته ای از آن برای شما بماند. روشی که پدرها و پدربزرگهای شما برای رسیدن به زندگی بهتر از آن استفاده می کرده اند.

فراگیری الفبای پس انداز :
اکثر والدین معمولاً در مورد اینکه توانسته اند شرایط تحصیلات مناسب را برای فرزندانشان فراهم کنند، به خود می بالند. اما متاسفانه آنها فراموش می کنند تا راه و روش پس انداز کردن پول را هم به فرزندانشان آموزش دهند. در این مقاله قصد داریم شما را با چند و چون پس انداز و ذخیره ی پول آشنا کنیم.

1. واقعیت را درست بررسی کنید
قبل از خرید هر چیز گرانقیمت و بزرگ، اطمینان پیدا کنید که این خرید را از روی احساس انجام نمی دهید. مردم عادت دارند که خریدهایی غیر ضروری را فقط از روی هوس انجام دهند نه بخاطر نیاز ! توصیه ی من این است که قبل از هر خرید، خوب موقعیت خود را بررسی کنید و واقع بین باشید.

2. قیمت ها را مقایسه کنید
قبل از هر خرید، توصیه میکنم که همه جاهای مشابه را بررسی کنید. اگر با دیدن یک چیز در یک فروشگاه سریعاً دست به خرید آن بزنید ممکن است سرتان را کلاه بگذارند. سوال کردن از فروشگاه های دیگر و پرس و جوی قیمت چندان زحمتی هم در بر ندارد.
اگر وقت کافی برای پرس و جوی قیمت ندارید، من توصیه می کنم که همه ی جزئیات را از یک فروشنده سوال کنید و بعد با فروشگاه های دیگر برای چک کردن و مقایسه ی قیمت ها تماس بگیرید. وقتی ارزانترین فروشگاه را پیدا کردید، بعد دست به خرید بزنید.

3. سعی کنید چانه بزنید
بعضی مردم خجالت می کشند یا بیش از این مغرور هستند که بخواهند سر قیمت چیزی با فروشنده چانه بزنند. اما جالب است بدانید که پولدارترین مردم همیشه بیش از سایرین هنگام خرید چانه می زنند. همین دلیل ثروتمند بودن آنها را می رساند. چون آنها ارزش پولی که به زحمت به دست آورده اند را می دانند و هیچوقت آن را بی جهت دور نمی اندازند.
قدم به قدم تا پس انداز پول :
 

 

بدانید که هیچوقت برای پس انداز کردن پول دیر نیست. در اینجا میخواهیم تکنیک های جمع کردن پول و پس انداز را برایتان معرفی کنیم.

1. همه ی حقوقتان را خرج نکنید
کار را با نگهداشتن میزان حتی خیلی کمی از حقوقتان شروع کنید. سعی کنید هر ماه 15 تا 18درصد از حقوق دریافتیتان را کنار بگذارید، اما اگر نتوانستید آنقدر هم پس انداز کنید باز نگران نباشید. مهم این است که پیوسته مقداری هر چند هم کم را پس انداز کنید.

2. تعداد برداشت از حساب خود را کمتر کنید
هروقت که با استفاده از دفترچه حسابتان، پولی برداشت می کنید، یک نرخ اضافی هزینه می کنید. مخصوصاً اگر برداشت را در بانک خودتان هم انجام ندهید، این هزینه بیشتر خواهد شد. پس به جای برداشت های مختلف، هزینه ی یک هفته ی خود را برآورد کرده و همان میزان پول از حساب برداشت کنید و هر مقدار که آخر هفته از آن پول باقی ماند را به پس انداز خود اضافه کنید.

3. حواستان به پولتان باشد
به خوبی مراقب دخل و خرجتان باشید. ببینید پولتان را کجا خرج می کنید. آندسته از افرادی که می دانند پولشان را بابت چه خرج میکنند، معمولاً کمتر خرج کرده و بیشتر پس انداز می کنند. با یادداشت کردن همه ی خرج و مخارجتان، هیچوقت بیش از بودجه تان خرج نخواهید کرد.

4. کمتر سراغ وام های کوتاه مدت برید
پولی که صرف سود وام می شود، پولی است که می تواند پس انداز شود. تا آنجا که می توانید سعی کنید کمتر سراغ وام گرفتن بروید. به خصوص وام های کوتاه مدت مثل وام دانشجویی، وام ماشین و امثال اینها.

5. برنامه ریزی منظم پس انداز داشته باشید
به ندرت پیش می آید که کسی پس انداز را جزء برنامه ی منظم زندگی خود قرار دهد. اما توصیه من به شما این است که سعی کنید هر ماه، هر چقدر که می توانید، حتی 20،000 تومان هم که شده، اما به طور مداوم و منظم پس انداز کنید.

از همین امروز شروع کنید :
حق با خواننده ی عزیزی بود که در این مقاله نامه اش را مطرح کردیم. او فهمیده است که باید قبل از اینکه خیلی دیر شود، راهی برای پس انداز کردن پولش پیدا کند. چون شما هیچ وقت نمی دانید که در آینده چه اتفاقی می افتد و کی به مقداری پول ضروری احتیاج پیدا خواهید کرد.

در 15سال آینده که فرزندان او می خواهند به دانشگاه بروند، چه می شود؟ آیا این آقای محترم از پسِ خرج و مخارج دانشگاه آنها برمی آید؟ اگر کارش را از دست بدهد چه؟ او همین حالا هم برای پرداخت کرایه خانه کلی به دردسر می افتد، چه برسد به آن موقع !
به خاطر همین است که پس انداز کردن پول به یکی از مهمترین مسائل زندگی تبدیل می شود. چون هیچکس نمی داند روز مبادا کی است و تا آن زمان چه اتفاقاتی رخ خواهد داد !
 

تاریخچه هندسه

واژه انگلیسی Geometry ( هندسه ) از زبان یونانی ریشه گرفته است. این کلمه از دو کلمه «جئو»ٍ به معنای زمین و «متری» به معنای اندازه گیری تشکیل شده است.بنابراین هندسه اندازه گیری زمین است. مصریان اولیه نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. هر سال رودخانة نیل طغیان نموده و نواحی اطراف رودخانه راسیل فرا می‌گرفت.
این عمل تمام علایم مرزی میان تقسیمات مختلف را از بین می‌برد و لازم می‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی نماید. آنها روشی از علامت‌گذاری زمین‌ها با کمک پایه‌ها و طناب‌ها اختراع کردند. آنها پایه‌‌ای را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌کردند، پایه دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو پایه توسط طنابی که مرز را مشخص می‌ساخت به یکدیگر متصل می‌‌شدند.با دو پایه دیگر زمین محصور شده ، محلی برای کشت یا ساختمان سازی‌ می‌گشت.
با برآمدن یونانیان اطلاعات ریاضی قدم به مرحله ای علمی گذاشت.در آغاز تمام اصول هندسی ابتدایی بود. اما در سال 600 قبل از میلاد مسیح ، یک آموزگار یونانی به نام تالس، اصول هندسی را از لحاظ علمی ثابت کرد.
تالس‌ دلایل ثبوت برخی از فرضیه‌ها را کشف کرد و آغازگر هندسة تشریحی بود. اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی‌ می‌کرد ، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود.
وی حدود سال 300 قبل از میلاد مسیح ، تمام نتایج هندسی را که تا به حال شناخته بود ، گرد آورد و آنها را به طور منظم ، در یک مجموعة 13 جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند ، به مدت 2 هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می رفتند.
براساس این قوانین ، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می گذشت ، شاخه های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف ، توسعه می یافت.
امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسة تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می کنیم.
خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند.قبل از اقلیدس، فیثاغورث( 572-500 ق.م ) و زنون ( 490 ق.م. ) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.
در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی معمولی بابلی ها را برای پیرامون دایره پذیرفت.به این معنی که دایره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقیقه و دقیقه را به 60 قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوس‌ها را به دست می داد و این قدیمی ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.
بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در قرن پنجم میلادی آپاستامبا، در قرن ششم ، آریاب هاتا ، در قرن هفتم ،براهماگوپتا و در قرن نهم ،بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.
                                         

آشنایی با آنالیز ریاضی

آنالیز شاخه ای از ریاضیات است که با اعداد حقیقی و اعداد مختلط و نیز توابع حقیقی و مختلط سر و کار دارد و به بررسی مفاهیمی از قبیل پیوستگی ،انتگرال گیری و مشق پذیری می پردازد. از نظر تاریخی آنالیز در قرن هفدهم با ابداع حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط نیوتن و لایپ نیتس پایه ریزی شد. در قرن هفدهم و هجدهم سر فصل های آنالیزی از قبیل حساب تغییرات،معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، آنالیز فوریه در زمینه های کاربردی توسعه فراوانی یافتند و از آنها به طور موفقیت آمیز در زمینه های صنعتی استفاده شد. در قرن هجدهم تعریف مفهوم تابع به یک موضوع بحث بر انگیز در ریاضیات تبدیل شد. در قرن نوزدهم کوشی با معرفی مفهوم سری های کوشی اولین کسی بود که حساب دیفرانسیل و انتگرال را بر یک پایه منطقی استوار کرد.. در اواسط قرن نوزدهم ریمان تئوری انتگرال گیری خود را که به انتگرال ریمان معروف است ارائه داد، در اواخر قرن نوزدهم وایراشتراس مفهوم حد را معرفی کرد و نتایج کار خود بر روی سریها را نیز ارائه داد در همین دوران ریاضیدانان با تلاش های زیاد توانستند انتگرال ریمان را اصلاح نمایند . در اوایل قرن بیستم هیلبرت برای حل معادلات انتگرال فضای هیلبرتی را تعریف و معرفی نمود.از آخرین تحولات در زمینه آنالیز می توان به پایه گذاری آنالیز تابعی توسط یک دانشمند لهستانی به نام باناچ نام برد .

گراف های بعضی از معادلات

Point x^2 + y^2 = 0 Circle x^2 + y^2 = r^2 Ellipse x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 Ellipse x^2 / b^2 + y^2 / a^2 = 1 Hyperbola x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1 Parabola 4px = y^2 Parabola 4py = x^2 Hyperbola y^2 / a^2 - x^2 / b^2 = 1

قضیه لاگرانژ

اگر یک گروه متناهی و باشد و که آنگاه .

اثبات:
می دانیم تعداد اعضای همدسته چپ زیرگروه ، با یکدیگر برابر است. یعنی :

همچنین می‌دانیم گروه توسط همدسته‌های دو به دو متمایز ، افراز میشود ، لذا:

با توجه به اینکه ؛ پس تعداد متناهی همدسته چپ ، مثلاً تا وجود دارند که :

بطوریکه اشتراک ها است
بنابراین:

شاخص.

عدد که در قضیه لاگرانژ مطرح شد، تعداد همدسته های چپ متمایز در را معرفی می‌نماید . را اندیس (شاخص یا نشان ) در می‌نامند و آن را با نماد نمایش می‌دهند.
لازم به ذکر است که این تعریف برای همدسته‌های راست متمایز نیز درست است.

نتیجه.

1. اگر و گروه متناهی باشد ، آنگاه
2. مرتبه هر عضو گروه متناهی ، مانند ، مرتبه را عاد میکند. یعنی
3. هر گاه گروه متناهی باشد ، بطوریکه و عددی اول باشد ، آنگاه یک گروه دوری است و زیرگروه محض نا‌بدیهی ندارد. (تنها زیرگروه محض آن ، تولید شده توسط عنصر خنثی ، یعنی است)

نکته.

عکس قضیه لاگرانژ همواره درست نیست.

چند مقاله ریاضی برای دانلود

هندسه فرکتالی ! geometric fractal

چگونه ریاضی بخوانیم ! how to study mathematics

وبلاگ بستری برای آموزش پویا (مقاله ارائه شده در هشتمین کنفرانس آموزش ریاضی ایران -مرداد ماه هشتاد و پنج ،شهر کرد)   مقاله

جزوه آموزش میپل (maple) دانلود

پدیده ی شگفت انگیز بین اعداد طبیعی . (نویسنده : امیر حسین اوحدی)

خواص دنباله فیبوناچی و اعداد اول  (قسمت اول  ،  قسمت دوم  ) .  (نویسنده : امیر حسین اوحدی)

رابطه عمومی جملات دنباله فیبوناچی . (نویسنده : امیر حسین اوحدی)

دو اثبات برای رابطه عمومی جملات دنباله فیبوناچی . (نویسنده : امیر حسین اوحدی)

انتگرال

محاسبه سطح زیر نمودار بوسیله مستطیل هایی زیر نمودار. هر چه قدرعرض مستطیل ها کوچک میشوندمقدار دقیق تری از مقدار انتگرال بدست میآید.

انتگرال های معین ممکن است با استفاده از روش های انتگرال گیری عددی ،تخمین زده شوند.یکی از عمومی ترین روش ها ،روش مستطیلی نامیده می شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است .

نکته‌هایی جالب از ریاضیل

می‌دانید:

·         طول ضلع شش ضلعی منتظم برابر است با شعاع دایره‌ی محیطی آن. و طول ضلع سه ضلعی منتظم محاط در این دایره ، برابر است با شعاع ضربدر مجذور 3

·         دو جمله‌ای (a+b)ⁿ ، دارای n+1 جمله است.

·         در تابع به فرم y=(x-a)(x-b)(x-c) ، طول نقطه‌ی عطف از رابطه‌ی x=(a+b+c)/3 بدست می‌آید.

  در تابع به فرم y=(x-a)ⁿg(x) (تابع g در x=a پیوسته) ، برای یافتن مشتق مرتبه‌ی nام کافی است ، n بار از عامل صفر شونده مشتق گرفته و سپس مقدار قرار دهیم یعنی:  y⁽ⁿ⁾=n!g(x)=n!g(a)

·         در هر مثلث قائم الزاویه ، اندازه‌ی زاویه‌ی بین میانه و ارتفاع وارد بر وتر برابر است با قدر مطلق تفاضل دو زاویه‌ی حاده‌ی مثلث.

·         در یک تصاعد حسابی اگر S_n=an²+bn آنگاه قدر نسبت برابر d=2a و جمله‌ی اول با قرار دادن n=1 و S₁=a₁=a+b خواهد بود.

·         محل تلاقی سه ارتفاع مثلثی که یک زاویه‌ی منفرجه داشته باشد خارج مثلث خواهد بود.

·         در فواصلی که تقعر تابع f رو به بالاست ، تابع مشتق صعودی اکید و در فواصلی که تقعر تابع f رو به پایین است ، تابع مشتق اکیدا نزولی است.

·         در دستگاه خطی AX=B ، اگر تعداد معادلات بیش‌تر از مجهولات باشد ، بسته به ماتریس A و B ، دستگاه جواب ندارد یا جواب منحصر به فرد دارد و یا بی شمار جواب دارد. یعنی اگر بُعد فضای دوم بیش‌تر باشد پوشا نیست لذا به ازاء بعضی Bها جواب ندارد و به ازاء بعضی‌ها جواب دارد. (یعنی زمانی که جواب‌ها بیش‌تراند.)

·         عددی بر 4 بخش‌پذیر است که دو رقم سمت راست آن بر 4 بخش‌پذیر باشد.

·         مساحت محصور به هر طاق از y=sinx از x=0 تا πx= برابر 2 است.