قضیه لاگرانژ

اگر یک گروه متناهی و باشد و که آنگاه .

اثبات:
می دانیم تعداد اعضای همدسته چپ زیرگروه ، با یکدیگر برابر است. یعنی :

همچنین می‌دانیم گروه توسط همدسته‌های دو به دو متمایز ، افراز میشود ، لذا:

با توجه به اینکه ؛ پس تعداد متناهی همدسته چپ ، مثلاً تا وجود دارند که :

بطوریکه اشتراک ها است
بنابراین:

شاخص.

عدد که در قضیه لاگرانژ مطرح شد، تعداد همدسته های چپ متمایز در را معرفی می‌نماید . را اندیس (شاخص یا نشان ) در می‌نامند و آن را با نماد نمایش می‌دهند.
لازم به ذکر است که این تعریف برای همدسته‌های راست متمایز نیز درست است.

نتیجه.

1. اگر و گروه متناهی باشد ، آنگاه
2. مرتبه هر عضو گروه متناهی ، مانند ، مرتبه را عاد میکند. یعنی
3. هر گاه گروه متناهی باشد ، بطوریکه و عددی اول باشد ، آنگاه یک گروه دوری است و زیرگروه محض نا‌بدیهی ندارد. (تنها زیرگروه محض آن ، تولید شده توسط عنصر خنثی ، یعنی است)

نکته.

عکس قضیه لاگرانژ همواره درست نیست.

چند مقاله ریاضی برای دانلود

هندسه فرکتالی ! geometric fractal

چگونه ریاضی بخوانیم ! how to study mathematics

وبلاگ بستری برای آموزش پویا (مقاله ارائه شده در هشتمین کنفرانس آموزش ریاضی ایران -مرداد ماه هشتاد و پنج ،شهر کرد)   مقاله

جزوه آموزش میپل (maple) دانلود

پدیده ی شگفت انگیز بین اعداد طبیعی . (نویسنده : امیر حسین اوحدی)

خواص دنباله فیبوناچی و اعداد اول  (قسمت اول  ،  قسمت دوم  ) .  (نویسنده : امیر حسین اوحدی)

رابطه عمومی جملات دنباله فیبوناچی . (نویسنده : امیر حسین اوحدی)

دو اثبات برای رابطه عمومی جملات دنباله فیبوناچی . (نویسنده : امیر حسین اوحدی)

انتگرال

محاسبه سطح زیر نمودار بوسیله مستطیل هایی زیر نمودار. هر چه قدرعرض مستطیل ها کوچک میشوندمقدار دقیق تری از مقدار انتگرال بدست میآید.

انتگرال های معین ممکن است با استفاده از روش های انتگرال گیری عددی ،تخمین زده شوند.یکی از عمومی ترین روش ها ،روش مستطیلی نامیده می شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است .

نکته‌هایی جالب از ریاضیل

می‌دانید:

·         طول ضلع شش ضلعی منتظم برابر است با شعاع دایره‌ی محیطی آن. و طول ضلع سه ضلعی منتظم محاط در این دایره ، برابر است با شعاع ضربدر مجذور 3

·         دو جمله‌ای (a+b)ⁿ ، دارای n+1 جمله است.

·         در تابع به فرم y=(x-a)(x-b)(x-c) ، طول نقطه‌ی عطف از رابطه‌ی x=(a+b+c)/3 بدست می‌آید.

  در تابع به فرم y=(x-a)ⁿg(x) (تابع g در x=a پیوسته) ، برای یافتن مشتق مرتبه‌ی nام کافی است ، n بار از عامل صفر شونده مشتق گرفته و سپس مقدار قرار دهیم یعنی:  y⁽ⁿ⁾=n!g(x)=n!g(a)

·         در هر مثلث قائم الزاویه ، اندازه‌ی زاویه‌ی بین میانه و ارتفاع وارد بر وتر برابر است با قدر مطلق تفاضل دو زاویه‌ی حاده‌ی مثلث.

·         در یک تصاعد حسابی اگر S_n=an²+bn آنگاه قدر نسبت برابر d=2a و جمله‌ی اول با قرار دادن n=1 و S₁=a₁=a+b خواهد بود.

·         محل تلاقی سه ارتفاع مثلثی که یک زاویه‌ی منفرجه داشته باشد خارج مثلث خواهد بود.

·         در فواصلی که تقعر تابع f رو به بالاست ، تابع مشتق صعودی اکید و در فواصلی که تقعر تابع f رو به پایین است ، تابع مشتق اکیدا نزولی است.

·         در دستگاه خطی AX=B ، اگر تعداد معادلات بیش‌تر از مجهولات باشد ، بسته به ماتریس A و B ، دستگاه جواب ندارد یا جواب منحصر به فرد دارد و یا بی شمار جواب دارد. یعنی اگر بُعد فضای دوم بیش‌تر باشد پوشا نیست لذا به ازاء بعضی Bها جواب ندارد و به ازاء بعضی‌ها جواب دارد. (یعنی زمانی که جواب‌ها بیش‌تراند.)

·         عددی بر 4 بخش‌پذیر است که دو رقم سمت راست آن بر 4 بخش‌پذیر باشد.

·         مساحت محصور به هر طاق از y=sinx از x=0 تا πx= برابر 2 است.

ویژگی‌های ریاضی

ویژگی‌های بنیادی ریاضیات را می‌توان حتی با آشنایی خیلی سطحی هم مشاهده کرد. این ویژگی‌ها عبارتند از: انتراعی بودن ، دقت منطقی ، الزامی بودن نتیجه‌های آن و سرانجام وسعت بی‌اندازه‌ی کاربردهای آن.

انتزاعی بودن حتی در حساب ساده هم دیده می‌شود. ما از اعداد به صورت مجرد استفاده می‌کنیم بدون اینکه به ارتباط آن‌ها با اشیاء توجه کنیم. مثلا در مدرسه جدول ضرب را به روش انتزاعی یاد می‌گیریم و عددها را در هم ضرب می‌کنیم ، نه عده‌ی بچه‌ها را در عده‌ی سیب‌ها و یا عده‌ی سیب‌ها را در بهای آن‌ها.

حدس گلدباخ

انگاره گلدباخ (حدس گلدباخ) از جمله معروفترین مسائل حل نشده ریاضیات است. برای درک این مساله تنها کافیست با مفهوم اعداد اول آشنا باشید.این انگاره چنین است:

هر عدد صحیح زوج بزرگتر از2 حاصل جمع دو عدد اول است.

صورت معادل آن چنین است:

هر عدد صحیح بزرگتر از 5 حاصل جمع سه عدد اول است.

تاریخچه

گلدباخ(1764_1690) به خاطر این حدس که آن را در سال 1742 در یک نامه به اویلر مطرح کرد, نامش در تاریخ ریاضیات باقی مانده است. او ملاحظه کرد در هر موردی که امتحان میکند هر عدد صحیح را (به جز 2و5) میتوان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت. اویلر حدس گلدباخ را تعمیم داد به طوری که هر عدد زوج بزرگتر از 2 را میتوان

به صورت مجموع دو عدد اول نوشت.مثلا":

16=13+3، 14=7+7، 10=5+5، 12=5+7، 8=5+3

شواهد تجربی در تائید اینکه هر عدد زوج به این صورت قابل نمایش است، کاملا" قانع کننده است و هر کسی میتواند با امتحان چند عدد زوج، این موضوع را تحقیق کند. منشأ دشواری در آن است که، عددهای اول بر حسب ضرب تعریف میشوند در حالی که این مسأله با جمع سروکار دارد.

به طور کلی اثبات رابطه بین خصوصیتهای ضربی و جمعی اعداد صحیح کار مشکلی است.

حل آنلاین مسائل ریاضی با توضیح قدم به قد

سلام بر همه دوستان گرامی و دانشجویان عزیز.
آنان که اهل فن هستند می دانند که این سیستم یک شاهکار است!‏
دیگر برای راهنمایی گرفتن جهت حل مسائل ریاضی خود نیازی به معلم، دوست و یا فرد دیگری ندارید. ‏حتی دیگر نیاز به خریدن حل المسائل نیز نخواهید داشت! با ‏Mathway‏ شما می توانید به راحتی مساله ‏ریاضی خود را وارد کنید تا روش حل آن را فورا و قدم به قدم دریافت کنید.‏
حل معادله، محاسبه انتگرال، حد، ساده سازی عبارات جبری، مثلثات و سایر موضوعات ریاضی برای این ‏سایت مانند آب خوردن و به سادگی چند کلیک ساده می باشد!‏

‏- ابتدا وارد سایت ‏Mathway.com‏ شوید
‏- از نوار بالا موضوع مساله خود را انتخاب کنید:‏
Basic Math
Pre-Algebra
Algebra
Trigonometry
Precalculus
Calculus

‏- با نوار ابزار موجود مساله را در قسمت ‏Enter Problem‏ وارد کنید.‏
‏- برای گرفتن جواب همراه با توضیحات قدم به قدم روی دکمه ی ‏Answer‏ کلیک کنید!‏

این سایت علاوه بر این سرویس، سرویس دیگری را نیز جهت رسم نمودارها عرضه می کند. یعنی ‏شما می توانید تابع خود را وارد کنید و نمودار آن را مشاهده کنید. برای استفاده از این سرویس:‏
‏- ابتدا روی لینک ‏Graph‏ کلیک کنید.‏
‏- با استفاده از نوار ابزار در قسمت ‏Enter Problem‏ تابع خود را وارد کنید.‏
‏- تنظیمات دلخواه خود را در قسمت ‏Show‏ انجام دهید.‏
‏- برای مشاهده نمودار روی دکمه ‏Graph‏ کلیک کنید!‏

------------ --------- --------- --
پی نوشت:
- این سایت دارای یک سیستم راهنمای استفاده می باشد که می توانید در اینجا بخوانید.
- این سایت دارای یک لغت نامه ریاضی نیز می باشد که می توانید در اینجا ببینید.‏

عدد علامت ابلیس

اگر شما به دقت فیلم هایی با مضامین شیطانی و مرگ و روح را مشاهده کرده باشید مطمئنا به کارگیری عدد ۶۶۶ در این گونه فیلم ها شما را متعجب می کند. این موضوع ما را بر آن داشت به کاوش در اسرار ۶۶۶ بپردازیم . ۶۶۶ را علامت ابلیس نامیده اند و این شهرت را از کتاب وحی

 (فصل ۱۳، شعر ۱۸، برای کامل بودن) به دست آورده است. مشخصات جالبش همواره مورد توجه ریاضیدانان بوده است.  اکنون به طور خلاصه چند ویژگی ریاضیاتی عدد ۶۶۶ را بیان می کنیم.

 عدد ۶۶۶ به سادگی از جمع و تفریق توان های ششم سه عدد آغازین به دست می آید .

 

3⁶ + 2⁶ - 1⁶ = 666

 

همچنین این عدد برابر است با مجموع ارقام خود باضافه جمع توانهای سوم ارقامش.

 

6³ + 6³  + 6³   + 6 + 6 +6 = 666

 

تنها پنج عدد صحیح مثبت با چنین خاصیتی وجود دارند. آنها را پیدا کنید .

 

جمع توانهای دوم ۷ عدد اول برابر است با ۶۶۶

 

17²+13²+11²+7²+5²+۳^۲+۲^۲=۶۶۶
 

جمع ۱۴۴ رقم ابتدایی عدد پی برابر ۶۶۶ است. نکته جالب اینجاست که :

 

(6 + 6) × (6 + 6) = 144

 

۶۶۶یکی از دو عدد صحیحی میباشد که برابر مجموع توانهای سوم از ارقام توان دوم خویش باضافه مجموع ارقام توان سومش است. یعنی:

 

443556 = 666²

 

 295408296= 666³

 

( 6 + 9 + 2 + 8 + 0 + 4 + 5 + 9 + 2) + ( 6³ + 5³ + 5³ + 3³ + 4³ + 4³ ) = 666

 

۲۵۸۳عدد دیگریست که دارای این خاصیت میباشد.

 

مجموع ۶۶۶ عدد اول حاوی عدد ۶۶ میباشد

 

66659 × 23 = 1533157 = 4973 + 4969 + ... + 11 + 7 + 5 + 3 + 2

 

دقیقا دو راه برای قرار دادن علامت “+” در رشته ۱۲۳۴۵۶۷۸۹ داریم تا ۶۶۶ حاصل شود

 

 در صورتیکه تنها یک راه برای رشته ۹۸۷۶۵۴۳۲۱ وجود دارد.

 

89 + 567 + 4 + 3 + 2 + 1 =666

 

 9 + 78 + 456 + 123 =666

 

 21+ 543 + 6 + 87 + 9 = 666

 

۶۶۶مقسوم علیه ۱۲۳۴۵۶۷۸۹+۹۸۷۶۵۴۳۲۱ میباشد.
 

 

عدد اسمیت عدد صحیحی است که مجموع ارقامش برابر است با مجموع ارقام عوامل اول خودش. ۶۶۶ یک عدد اسمیت است. زیرا:

 

37 × 3 × 3 × 2 =666

 

 7 + 3 + 3 + 3 + 2 = 6 + 6 + 6

 

تابع (Phi(n در نظریه اعداد عبارت است از تعداد اعداد کوچکتر از n که نسبت به n اولند.

 

قابل توجه است که:

 

Phi (۶۶۶) =۶ × ۶ × ۶
 

برگرفته شده از سایت ریاضی ها

“اتساع زمانی: معجزه ی قرآن”

بسیار عجیب است که مسلمانان از معادله ی دیگری استفاده می کنند تا این مطلب را آشکار نمایند که فرشتگان به سرعت نور شتاب می گیرند.

قرآن آنها در یک آیه بیان می کند که ظاهرا زمان برای فرشتگان با سرعت ثابت از برای انسانها کمتر می گذرد.

که این مطلب با نسبیت خاص اینشتین صدق می کند که در آن نیز در سرعتهای بالا زمان برای اشیایی با آن سرعت آرام تر می گذرد.

مسلمانان از نسبیت خاص اینشتین و این آیه استفاده کرده اند تا از این مطلب که فرشتگان در حقیقت به سرعت نور شتاب می گیرند حمایت کنند.



آیه: "فرشتگان و ارواح در یک روز به او (مذکر) صعود کردند که این معادل پنجاه هزار سال برای انسان است"!



در اینجا فرشتگان یک روز را معادل پنجاه هزار سال برای انسان گذر می کنند. (زمان در مقابل زمان و نه زمان در مقابل فاصله مانند آیه ی قمری قبل).

پر کردن مستطیل با مربعهای غیر هماندازه!

مقدمه

در سال 1325 (1936 میلادی) دانشجویان کالج «ترینیتی» (Trinity) بهنامهای «کمبریج بروکس» (Cambridge- Brooks)، «اسمیت» (Smith)، «استون» (Stone)، «توته» (Tutte) بر روی مسألهی تقسیم «کامل» (Perfect) یک مستطیل به مربعهای غیرهم اندازه (بدون حتی دو مربع مشابه) تحقیق کردند. این مسأله در آن زمان، شهرت زیادی پیدا کرده بود (شکل 1).

شکل 1 – تقسیم مستطیل به مربعهای غیرهم اندازه.