۱-اعداد جبری
اعداد جبری (طبق اصطلاحی که کرونکر ریاضی دان آلمانی بکار برد)، اعدادی هستند که جواب معادله ای به شکل زیر باشند:
anxn + an−1xn−1 + ··· + a1x + a0 = 0
ضریبهای a0 تا an در این معادله چند جمله ای اعداد گویا هستند.
اگر an = 1، به ریشه های معادلهٔ بالا عدد جبری صحیح گویند.
برای مثال تمام اعداد گویا عدد جبری هم هستند. همچنین به راحتی ثابت میشود که اعداد جبری شمارش پذیر هستند.
۲-اعداد حقیقی
مجموعه ی همۀ اعداد گویا و اعداد گنگ با یکدیگر را اعداد حقیقی (Real numbers) میگویند، که با نمایش داده می شود. اعداد حقیقی را میتوان با اضافه کردن عدد موهومی (
) بسط داد. اعدادی به فرم a + bi را که در آنها a و b هر دو عدد حقیقی هستند، اعداد مختلط مینامند.
۳-اعداد مختلط
عدد مختلط، در ریاضیات، عددی به شکل
است که a و b اعداد حقیقیاند و i یکهی موهومی با خصوصیت i2 = -1 است. به عدد حقیقی a قسمت حقیقی گفته میشود و به عدد حقیقی b قسمت موهومی.
اعداد حقیقی نیز میتوانند به عنوان اعداد مختلط با قسمت موهومی 0 در نظر گرفته شوند، یعنی عدد حقیقی a معادل است با عدد مختلط a + 0i.
به عنوان مثال 3 + 2i یک عدد مختلط است با قسمت حقیقی 3 و قسمت موهومی 2. اگز z = a + bi آنگاه a را با Re(z) و b را با Im(z) نشان میدهند.
اعداد مختلط مانند اعداد حقیقی میتوانند جمع، تفریق، ضرب، و تقسیم شوند، ولی آنها خصوصیات منحربفرد اضافهتری نیز دارند. به عنوان مثال اعداد حقیقی به تنهایی جوابی برای هر چند جمله ای جبری با ضرایب حقیقی فراهم نمیکنند، ولی اعداد مختلط چرا (قضیه اساسی جبر).
تاریخچه
یکی از مهمترین ویژگیهای اعداد حقیقی این است که در آنها اعمال جمع، تفریق، ضرب و تقسیم (به استثنای تقسیم برصفر) را می توان انجام داد. بدین سبب است که معادله خطی کلی ax + b = 0 را میتوان در حوزه اعداد حقیقی حل کرد و چنین نوشت: ax + b = 0. ولی وضعیت در مورد معادله درجه دوم کاملاً متفاوت است. به عنوان مثال معادله درجه دوم x2 + 1 = 0 را در حوزه اعداد حقیقی نمیتوان حل کردو x را به دست آورد. مربع یک عدد حقیقی نمیتواند عددی منفی باشد. در چنین وضعیتی حوزه دستگاه اعداد حقیقی را طوری توسعه میدهیم که چنین معادلههایی حل شدنی باشد. دستگاه اعداد را چنان توسعه میدهیم تا اعدادی مثل یعنی عددی را که مربعش ۱- است ، نیز در بر گیرد. این گونه اعداد با احساس شهودی ما اصلاً جور در نمیآیند و در گذشته بسیاری از ریاضیدانان با معرفی این گونه هیولاها مخالفت داشتند و از این رو آنها را اعداد انگاری نامیدهاند . وضعیت تا سده هیجدهم به همین منوال بود تا اینکه لئوراد اویلر (1707-1783) با کارهای استادانه روی اعداد انگاری نتایج متعدد جالبی بدست آورد. ک.ف گاوس (1777-1855) با معرفی اعداد انگاری به صورت نقاط یک صفحه نام تازه اعداد مختلط را بر آنها نهاد و از آنها برای یافتن نتایجی چشمگیر از نظریه اعداد استفاده نمو د. از این طریق عضویت اعداد مختلط را در سلسه اعداد مسجل ساخت. تقریباً درهمان زمان ا.ل. کوشی (1789-1857)، هنگام تلاش در پیدا کردن روشی یکنواخت برای محاسبه انتگرال های معین، حساب دیفرانسیل و انتگرال توابع با متغیرهای مختلط را بررسی کرد. این امر سرآغاز نظریه توابعی بود که زمینه مساعدی برای کشف توابع بیضوی از سوی ن.ه. آبل (1802-1829) وکارل گوستاو یاکوبی (1804-1851) را فراهم ساخت. علاوه بر این، بسط هندسه تصویری نشان داد که استفاده از اعداد مختلط در هندسه نیز امری اجتناب ناپذیر است. پیشرفت تحقیقات روشن کرده است که برای اینکه ریاضیات، حتی فقط حساب دیفرانسیل و انتگرال را به خوبی بفهمیم، محدودیت غیر طبیعی حوزه اعداد حقیقی به ما حکم میکند که برای دستیابی به مفاهیم یکنواختی و همسازی، اعداد مختلط را نیز دخالت دهیم.
دو عدد مختلط برابرند اگر و تنها اگر بخشهای حقیقی و موهومی آنها دو به دو با یکدیگر برابر باشند. یعنی a + bi = c + di اگر و تنها اگر a = c و b = d.
مجموعه اعداد مختلط معمولا با C نشان داده میشود. اعداد مختلط نیز میتوانند جمع، تفریق، وضرب شوند با در نظر گرفتن معادلهی i2 = −
تقسیم اعداد مختلط نیز میتواند تعریف شود (پایین را ببینید). بنابراین مجموعه اعداد مختلط یک میدان تشکیل میدهد که، در مقایسه با اعداد حقیقی، به طور جبری بسته است.
اعداد مختلط میتوانند به صورت زوجهای مرتب (a, b) از اعداد حقیقی نیز تعریف شوند. با اعمال:
بنابراین اعداد مختلط تشکیل یک میدان میدهند، میدان مختلط، که با C نشان داده میشود.ازآنجایی که عدد مختلط a + bi به طور منحصربفرد با یک زوج مرتب (a, b) نمایش داده میشود، پس اعدادمختلط یک تناظر یک به یک با نقاط در صفحه دارند. به آن صفحه مختلط گفته میشود. عدد حقیق a راباعدد مختلط (a, 0) نشان میدهیم و در این حالت میدان اعداد حقیقی R یک زیرمیدان از C میشود. واحد موهومی i عدد مختلط (0, 1) است. منظوراز تقسیم دو عدد مختلط یعنی یافتن عددی است مثل
x + iy که در تساوی
صدق نماید ، پس از محاسبه رابطه بالا داریم
پس کافی است اعداد x و y را چنان پیدا کنیم که در روابط
مگر آنکه c = d = 0 بنابراین
البته همین نتیجه را میتوانستیم از ضرب صورت و مخرج کسر
در
نیز بدست آوریم.
اقتصاد
اقتصاد دانشی است که با توجه به کمبود کالا وابزارتولید و نیازهای نامحدودبشری به تخصیص بهینه کالاها و تولیدات میپردازد. پرسش بنیادین برای دانش اقتصاد مسئله حداکثرشدن رضایت ومطلوبیت انسانهاست. این دانش به دو بخش اصلی اقتصاد خرد و کلان تقسیم میشود.آدام اسمیت پدرعلم اقتصاد میباشد. امروزه این علم با استفاده از مدلهای ریاضی از سایر علوم انسانی فاصله گرفته است. برای نمونه نظریه بازی ها که با استفاده از توپولوژی در حال گسترش است. در زمینه اقتصاد کلان نیز معادلات دیفرانسیل و بهینه سازی توابع مطلوبیت انتگرال با محدودیت معادلات دیفرانسیل معروف به معادلات هامیلتونی رواج دارد.
اقتصاد خرد
اقتصاد خرد به بررسی رفتار اقتصادی انسانها و بنگاههای اقتصادی میپردازد و درصدد است تا رفتار عقلایی در انسانها را شناسایی کند. با توجه به محدودیتهای موجود (مثلاً درآمد) انسانها و شرکتهای اقتصادی مایلند که بیشترین استفاده را ببرند و منابع خود را به بهترین شکل ممکنه استفاده کنند. رفتار یک یا گروهی از انسانها در ارتباط با کالا یا کالاهای خاصی به اقتصاد خرد مربوط میشود. توابع عرضه و تقاضا و نقطه تعادلی (نقطه ناش در نظریه بازی ها) توابع تولید و هزینه,نیز فایده در این بخش جای میگیرد.
اقتصاد کلان
اقتصاد کلان به بررسی مسایل اقتصادی در سطح کلان ملی یک کشورمیپردازد.حیطه جهانی بررسی را اقتصاد بین الملل به عهده دارد. مسایلی از قبیل ثبات اقتصادی, توازن طراز بازرگانی خارجی, رشد اقتصادی, اشتغال, تورم, مخارج و درآمدهای دولت, رکود اقتصادی, بحران اقتصادی, بیکاری, فقر و اقتصاد توسعه در این بخش مورد بررسی قرار میگیرد.
بر خلاف اقتصاد خرد رفتارهای فردی شکل دهنده اقتصاد کلان نیست هر چند که از جمع رفتارهای فردی شکل گرفته است. کینز پدر علم اقتصاد نوین نمونه بارزی را از آثار رفتار واحدی را در عرصه کلان و خرد ارایه داده است که به تناقض پس انداز مشهور است.اگرافراد به صورت انفرادی پس انداز کنند در سالهای بعد دارای امکانات و قدرت مالی بیشتری خواهند بود و خواهند توانست که از سرمایه جمع شده خود استفاده کنند ولی اگر تمامی افراد جامعه همزمان پسانداز خود را افزایش دهند و بخش بیشتری از درآمد خود را پس انداز نمایند مصرف کل اقتصاد پایین میآید و این امر موجب کاهش تولید نیز خواهد شد که این امر به کاهش درآمد افراد در آینده منجر میشود. از اینرو افزایش پس انداز برای اشخاص مفید میتواند باشدولی برای جامعه به صورت کلی تأثیرات متفاوتی نسبت به تأثیرات فردی آن دارد.
نمونه دیگر: اگر شرکتی یک یا چند تن از پرسنل خود را با ماشین آلات جایگزین نماید بی شک سود خواهد کرد و به نفع آن شرکت خواهد بود ولی اگر تمامی شرکتها به یکباره به این کار مبادرت ورزند بیکاری افزایش مییابدوموجب کاهش درآمد ملی و در نتیجه کاهش تقاضا برای تولیدات شرکتها شده و سود شرکتها را کاهش میدهد. از اینرو تأثیرات سطح کلان میتواند با تأثیرات در سطح خرد متضاد باشد..
تفکیک فیزیکی یا تغییر ماهوی
راهنمای غلط برای اقتصاد ملی
خرید کالاهای مصرفی همچون تلفن همراه و اتومبیل به منظور پسانداز و به مثابهء وسیلهء سرمایهگذاری اقدامی خلاف مصالح ملی است، هرچند که ممکن است به نفع خریداران آنها باشد. گفته میشود که افرادی هم بودهاند که برای خرید صدها تلفن همراه ثبتنام کردهاند. البته، به خریداران نمیشود ایرادی گرفت، چون میخواهند از ارزش پساندازهایشان دفاع و سود کنند. به ویژه جایی که دولت فروشنده است، ابداً نمیشود به آنها ایراد گرفت.
دولتها همهجا تلاش میکنند که پسانداز مردم را به سمت سرمایهگذاری در داراییهای مولد سوق دهند. سرمایهگذاری در کالاهای فیزیکی یا داراییهای واقعی به منظور حفظ آنها و استفاده از تفاوت ارزش، سرمایهگذاری مولد نیست ( البته، اگر شغل خریداران تلفن همراه و اتومبیل مثلاً اجاره دادن آنها بود، اشکالی نداشت.)سرمایهگذاری غیرمولد نوعی سرمایهگذاری است که از انجام آن چیزی خلق نمیشود و ارزشی به وجود نمیآید. خرید 10 عدد تلفن همراه و نگه داشتن آن در محلی محفوظ به امید سود، و فروختن حتی به 10 برابر قیمت که برای صاحب تلفن همراه بسیار مطلوب است، از دید اقتصاد ملی اقدامی غیرمولد و عبث است. نه تنها ارزشی خلق نمیشود، بلکه حتی از ارزش موجود هم کم میشود: 10 اتومبیلی که در پارکینگ مجموعهء مسکونی نگه میداریم، اتومبیل یازدهمی را خلق نمیکند. با نگه داشتن اتومبیل، فقط ارزشهای واقعی مستهلک میشوند، و چیزی هم از ارزش کاهش می یابد. سرمایهگذاری مولد آن است که ضمن کسب سود برای سرمایهگذار، ارزشی هم خلق شود. اینجاست که باید همچون همه جای دنیا، مردم به خرید کالاهای مالی تشویق شوند: به خرید سهام، اوراق قرضه و مشارکت، سپردههای ثابت، پساندازهای بانکی، بیمهنامه، طرح پسانداز بازنشستگی و ... . با این نوع سرمایهگذاری است که چیز تازهای خلق میشود. کسانی که از وجوه این ابزارهای مالی استفاده میکنند، از محل آن وجوه ارزشهای تازهای را خلق میکنند: کارخانه میسازند، دامداری میکنند، فعالیتهای تجاری میکنند، موسساتی میسازند که خدمات تازهای عرضه میکنند، و غیره .پس، همهءکشورهای دنیا شرایطی را فراهم میآورند که پساندازکنندهها به سمت کالاهای مالی تمایل پیدا کنند. به ویژه ایجاد این شرایط در کشوری چون ایران که فرهنگ سرمایهگذاری آن، فرهنگ سرمایهگذاری در کالاهای فیزیکی چون طلا و اتومبیل و خانه است. بسیار دشوارتر است. حال اگر دولت اقدام لازم برای ایجاد زمینههای مناسب و سودآور سرمایهگذاری در کالاهای مالی را فراهم نیاورد، مردم مانند ایران به سمت کالاهای واقعی و فیزیکی سوق داده میشوند: با طلا و ارز پسانداز میکنند; چون سهام سودآور نیست، برای کسب سود اتومبیل میخرند و در خانهء خود پارک میکنند; خانهءمسکونی میخرند و خالی رها میکنند; و حوالهء آهنآلات یا تلفن همراه میخرند. بر مردم پساندازکننده ایرادی نیست، چون به تجربه دریافتهاند که سود بیشتر در خرید داراییهای فیزیکی نهفته است. میتوانند به اینوسیله از _زیر پرداخت مالیات شانه خالی کنند و... . اما، ایراد بر کسانی است که پساندازکردن در داراییهای فیزیکی را برای مردم، با وضع قوانین مالیاتی و ...، سودآور کردهاند.
بدتر از آن، اقدام خود دولت به فروش اتومبیل و تلفن همراه به صاحبان پساندازی است که احتمالاً در حوزههای مولدی هم سرمایهگذاری کرده بودند: سهام یا سپردهءثابت خود را فروختند تا تلفن همراه بخرند. دولت که خود باید مدافع پسانداز و سرمایهگذاری مولد باشد، طبعاً نباید با فروش تلفن همراه در مسیر عکس هدف بالا حرکت کند. معنی فروش تلفن همراه آن است که صاحب و مالک و هدایتکنندهءکل بازار اقتصاد، به جای آنکه به سودآورکردن و پر رونقکردن همهءمغازههای این بازار بیندیشد، به جای آن که در اندیشهء روشن نگهداشتن چراغ همهء واحدهای تولیدی و تجاری این بازار باشد، فقط میخواهد مغازهء دونبش خود را پر رونق کند، و چراغ آن را روشن نگه دارد، غافل از اینکه مسوولیت کل بازار با او بوده است.
تصمیم به فروش تلفن همراه به شکلی که انجام شد برخلاف مصالح ملی و خلاف مقررات جاری کشور بوده است.
منبع:سرمایه 14/11/85
|
بانکداری اسلامی در میانه راه
سید عباس موسویان
تحریم اقتصادی چیست؟ چرا؟ چگونه؟
دکتر سید محمد حسین عادلی
آینده نظریات «میلتون فریدمن»
«میلتون فرید من» اقتصاددان برجسته و از بنیانگذاران مکتب پولی شیکاگو، برنده جایزه نوبل در اقتصاد در سال 1976، ماه گذشته درگذشت. اعتبار و شهرت او باعث شد که خبر فوت او و مروری به زندگی و نظریاتش، مطبوعات و وسائل ارتباط جمعی جهان را پر کند، نام این اقتصاددان بزرگ که شاید تا چند ماه قبل بیشتر برای استادان، کارشناسان، متخصصان و دانشجویان اقتصاد و اقتصاد سیاسی آشنا بود، نامی آشنا شد و موضوع بحث در جلسات متفاوت.
شهرت «فریــد من» تا حــد زیادی در تقابل نظریـات او با اقتصاددان بزرگ و پایهگذار اقتصاد نئولیبرالیزم، جان میناردکینز است.
اقتصاددانی که نظریاتش تقریباً از سال 1930 تا اوایل دهه 1970 یعنی به مدت چهار دهه بر جهان غیر کمونیست حاکم بود؛ دانشگاه هاروارد را در تسلط خود داشت و پیــروان نظریات او بــزرگانــی چـون کنت گالبرایت، مشاور بر جسته اقتصادی کندی و جانسون روسای جمهوری سابق آمریکا و صاحب تألیفات فراوان بود.