پر کردن مستطیل با مربعهای غیر هماندازه!

مقدمه

در سال 1325 (1936 میلادی) دانشجویان کالج «ترینیتی» (Trinity) بهنامهای «کمبریج بروکس» (Cambridge- Brooks)، «اسمیت» (Smith)، «استون» (Stone)، «توته» (Tutte) بر روی مسألهی تقسیم «کامل» (Perfect) یک مستطیل به مربعهای غیرهم اندازه (بدون حتی دو مربع مشابه) تحقیق کردند. این مسأله در آن زمان، شهرت زیادی پیدا کرده بود (شکل 1).

شکل 1 – تقسیم مستطیل به مربعهای غیرهم اندازه.

«استون» (Stone) بهویژه علاقهمند شد به اینکه این گزاره را ثابت کند: «غیر ممکن است یک مربع داده شده را به مربعهای غیر هم اندازه تقسیم کرد». در حالی که قادر به اثبات این امر نبود وی تقسیم مستطیل به مربعهای غیر هم اندازه را کشف کرد.

شکل 2

یک روش برای یافتن مستطیلهایی که بتوانند به مربعهای غیر هم اندازه تقسیم شوند آن بود که نقشهای از تقسیمهای پیشنهادی به مربعهای غیر هم اندازه تهیه کند؛ طول هر یال (ضلع) هر مربع را تعیین نماید. همچنین به نوشتن همهی معادلههایی بپردازد که طول یالها در آن صدق میکند تا بدینترتیب در مجموع، مستطیلی بهدست بیاید. سپس سیستم معادلههای بهدست آمده را حل کند.

بنا داریم این روش را برایتان اجرا کنیم. بهجای اینکه متغیرهای بیشماری را با تقسیم مستطیل به مربعها ایجاد کنیم سعی میکنیم مربعهای مجاور را بهگونهای نامگذاری نماییم که با نقشه سازگاری داشته باشند. بدینترتیب متغیرهای کمتری ایجاد شده حذف آنها راحتتر خواهد بود.

شکل 3.

مثال 1

مربعهای مجاور را با ،  و  نامگذاری میکنیم (شکل 3). بنابراین نامگذاری مربعهای دیگر به این روش ساده خواهد بود:

سپس روابط بین متغیرها را بهدست میآوریم.

بهعنوان مثال:

رابطهی بین طول اضلاع مربعهای داخل مستطیل را مینویسیم؛ برای اضلاع افقی رابطهی ذیل را میتوان نوشت:

(رابطهی 1)

و یا:

(رابطهی 2)

و برای ضلع عمودی مستطیل روابط ذیل صادق است:

(رابطهی 3)

و یا:

(رابطهی 4)

بنابراین داریم:

(رابطهی 5)

مشاهده میکنیم اگر در نظر بگیریم پوششهایی نظیر شکل 4 بهدست خواهیم آورد. اگر مقدار  را برابر هر مقدار مثبت در نظر بگیریم شکلی مشابه با ضریبی با اندازهی برابر بهدست خواهیم آورد. اگر طول یال افقی را (مثلاً: 64) تعیین کنیم پس  برابر با 2 بوده و شکل بهطور کامل بهدست خواهد آمد.

شکل 4.

مثال 2

در شکل 4 تعیین دو متغیر  و  برای مشخص کردن طول همهی یالها کافی است. اگر بخواهیم روابط برای تعیین طول یالها را بنویسیم میتوانیم موارد ذیل را ذکر کنیم:

(رابطهی 6)

و یا داریم:

(رابطهی 7)

جایگذاری مقادیر  منجر به روش «استون» (Stone) در تقسیم مستطیل  میشود (شکل 2). بقیهی مقادیر  و  که در رابطهی 7 صدق کند تصاویری مشابه شکل 2 ایجاد خواهد کرد.

برای اینکه نشان دهیم این روش همیشه امکانپذیر نخواهد بود به مثال ذیل توجه کنید.

شکل 5.

مثال 3

با مقادیر  و  در شکل 5 آغاز میکنیم. میتوانیم مربعهای دیگر را بهصورت ذیل نامگذاری کنیم:

با نوشتن روابط مربوط به طول اضلاع (یالهای) عمودی رابطههای ذیل بهدست خواهد آمد:

(رابطهی 8)

و یا:

(رابطهی 9)

در نتیجه رابطههای ذیل صادق خواهد بود:

(رابطهی 10)

در شکل 5 مربع وسطی از لحاظ اندازه بهقدری کوچک میشود که بهسمت «نقطه بودن» نزدیک میشود. ما صرفاً مستطیل مذکور را به چهار بخش مساوی تقسیم کرده و در واقع یک مربع داریم.

این مسأله به ما نشان میدهد سیستم با معادلههای خطی - که از نقشهی تقسیم دلخواه از یک بخش بهدست آوردهایم – دارای «یک جواب» است البته بهجز «ضرایب» آن (Scaling Factor).

اگرچه جواب لزوماً از لحاظ هندسی ممکن است عملی نباشد. این امر زمانی میتواند واقع شود که بهعنوان مثال، بعضی از طول یالها بهسمت «منفی بودن» نزدیک شود و اینکه در زمینهی مسائل پوشش دادن مفهومی نداشته باشد.

از تجربههای قبلیمان در زمینهی سیستمهای معادلههای خطی میدانیم ممکن است:

	- روابط زیادی وجود داشته باشد که در آن حالت، جوابی موجود نباشد.
	- یا روابط بسیار اندکی موجود باشد که در آن جوابهای بینهایتی موجود باشد.
	- یا تعداد روابط با در نظر گرفتن تمام اشکال باشد یعنی تنها یک مجموعه از اعداد در روابط صدق کند.

در تمام مثالهایی که ارائه شد تعداد روابط با تعیین طول ضلع (یال) یک زوج از یالهای مستطیلهای موجود (نه از طول دیگر از اشکال) بهدست میآمد.

بهعنوان مثال: هر سیستم یک جواب منحصر بهفرد دارد. آیا این امری خوشایند است؟

یک قضیه و قانون کیرشهف

اکنون از فیزیک کمک میگیریم و با استفاده از «نظریهی شبکهی الکتریکی» (Electrical Network Theory) نشان خواهیم داد که یک سیستم از روابط خطی – که از تقسیم همراه با نقشه بهدست آمده است – همیشه دارای جواب منحصر بهفرد است.

شکل 6.

برای ارائهی بحثی دقیقتر، مستطیلی را در نظر بگیرید که به مربعهایی تقسیم شده است. با توجه به تقسیم هر پارهخط در امتداد افقی (شکل 6) رابطهی ذیل را خواهیم داشت:

(رابطهی 11)

رابطهی 11 به ما میگوید جمع طول اضلاع مربعها که یک ضلع مستطیل را پوشاندهاند با جمع طول اضلاع مربع در ضلع دیگر مستطیل برابر است. به چنین روابطی اصطلاحاً «روابط سازگار با امتداد افقی» (Horizontal Compatibility Relation) میگوییم.

بهطور مشابه با توجه به تقسیم هر پارهخط در امتداد عمودی روابطی خواهیم داشت که اصطلاحاً «روابط سازگار با امتداد عمودی» (Vertical Compatibility Relation) مینامیم.

واضح است که مجموعهی همهی اشکال روابط سازگار تشکیل یک سیستم  از روابط خطی خواهند داد.

قضیهای میگوید:

«اگر یکی از دو بعد یک مستطیل تقسیم شده تعیین شده باشد «سیستم روابط سازگار»  (Compatibility Relations) همیشه «جواب واحدی» (Unique Solution) خواهد داشت».

یاداروی - «جواب واحد» (Unique Solution) لزوماً دارای معنای هندسی نیست.

برای اثبات از قوانین فیزیکی، فرض کنید مستطیل، صفحهای از فلز رسانا با ضخامت کم باشد. فرض کنید همهی نقاط واقع بر یال (ضلع) بالایی مستطیل دارای «اختلاف پتانسیل الکتریکی» یکسانی بهمیزان  است. همچنین «اختلاف پتانسیل الکتریکی» همهی نقاط مستطیل پایینی دارای مقدار پایینتر   باشد (مثلاً: با پوشش این لبهها با مواد رسانای کامل این امر محقق شده است). بهخاطر اختلاف پتانسیل معین ، جریان ثابتی در مستطیل در امتداد عمودی برقرار میشود.

سرعتی که در آن، الکترونها از فاصلهی افقی عبور میکنند متناسب با طول فاصلهی مذکور است. همچنین اگر  «شدت جریان» عبوری در فاصلهی افقی با طول واحد باشد «شدت جریان» عبوری در فاصلهی  عدد 11 خواهد بود.

«مقاومت» یک چنین مستطیلی در برابر «جریان الکتریکی» بهطور مستقیم متناسب با طول عمودی مستطیل  (نسبت به فاصلهای که جریان باید عبور کند) بوده و با ضخامت مستطیل  (فاصلهای که «شدت جریان» در امتداد آن ممکن است وارد شود) رابطهی معکوس دارد.

بهعنوان مثال:

رابطهی ذیل برقرار خواهد بود:

= مقاومت

(رابطهی 12)

بنابراین اگر «مستطیل»، «مربع» باشد رابطهی ذیل برقرار است:

(رابطهی 13)

در نتیجه با جایگذاری رابطهی 13 در رابطهی 12، متوجه میشویم «مقاومت» به «اندازهی مربع» بستگی ندارد.

اکنون فرض کنید چنین مستطیل هادی جریان به مربعهایی تقسیم شود. چون جریان در امتداد عمودی است (جریان در امتداد افقی موجود نیست) ممکن است در امتداد عمودی بدون هیچ مانعی حرکت کند.

حالا به تقسیم صفحه بهعنوان یک «شبکه» نظر میافکنیم که در آن:

	- مربعها بهعنوان اجزای تشکیلدهنده با «سیمهای هادی جریان»
	- و پارهخطهای افقی با «نقطه» یا «رأس» مشخص شدهاند (شکل 7).

همانطور که در شکل 7 مشخص شده  در شبکه، پارهخطهای افقی در سطوح  از مستطیل مذکور هستند. همچنین سیمهای  نشاندهندهی مربعهای مربوط به سطوح ،  تا  میباشند. بزرگی «شدت جریان» عبوری در هر سیم متناسب با «طول ضلع» مربع است که سیم برای نشان دادن آن بهکار رفته است.

شکل 7.

«قانون بقای شدت جریان» مقرر میدارد در هر «رأس» گراف مذکور، کل مقدار «شدت جریان» ورودی با کل مقدار «شدت جریان» خروجی برابر است.

بهعنوان مثال:

رأس  (مربوط به پارهخط افقی در سطح ) «شدت جریانی» بهمیزان از طریق سیمهای  و  دریافت میکند که متناسب با مجذور  و  است. «شدت جریانی» بهمیزان  را از طریق سیمهای  و  از دست میدهد که متناسب با مجذور   و  میباشد.

با توجه به «قانون بقای شدت جریان» میتوان رابطهی ذیل را نوشت:

(رابطهی 14)

رابطهی 14 تنها یکی از «روابط سازگار افقی» ما محسوب میشود.

از آنجایی که «شدت جریانها» در ضلع بالایی صفحهی مستطیلی مذکور در امتداد عمودی بهسمت پایین بهسمت ضلع پایینی صفحه برقرار است میبینیم که هر نقطه در سطح افقی یکسان دارای «اختلاف پتانسیل الکتریکی» مشابه هستند؛ همچنین نقاط واقع بر سطح افقی بالاتر دارای «اختلاف پتانسیل الکتریکی» بالاتری نسبت به نقاط پایینی هستند.

بر طبق قانون «اهم»، «اختلاف پتانسیل» دو نقطه از شبکه – که بهوسیلهی یک سیم متصل شدهاند – با حاصلضرب «شدت جریان» عبوری از آن سیم و «مقاومت» برابر است.

بهعنوان مثال:

«اختلاف پتانسیل» بین نقاط  و  - که با و  در صفحه نامگذاری شدهاند – از رابطهی ذیل بهدست میآید:

(رابطهی 15)

که در آن داریم:

	= «شدت جریان» ورودی در صفحهی بالایی مربع
	= طول ضلع مربع
	= مقاومت مربع

علاوه بر آن، «اختلاف پتانسیل» دارای خاصیت «جمعپذیری» است یعنی اگر  و  دو رأس در شبکه باشند که به هم از مسیر  و  در مرتبط شدهاند تفاوت «اختلاف پتانسیلها» بین  و با جمع اختلاف پتانسیلها بین و  و همچنین و  برابر است. بهعبارت دیگر در مثال مذکور داریم:

(رابطهی 16)

در نتیجه برای هر مسیر بسته در شبکهی مذکور یعنی ، جمع متناظر عبارت است از: «صفر». همچنین برای هر دو مسیر با نقطهی ابتدایی یکسان و نقطهی انتهایی یکسان، جمعهای مرتبط یکسان هستند. بنابراین برای  و  داریم:

(رابطهی 17)

یا بهعبارتی سادهتر داریم:

(رابطهی 18)

رابطهی 18 یکی از همان «روابط سازگار با امتداد افقی» (Horizontal Compatibility Relation) است که قبلاً ذکر کردیم.

استفاده از قوانین «بقای جریان» و «اهم» نتیجه میدهد که یک سیستم با «معادلههای خطی» (Linear Equations) معادل با «سیستم  با روابط سازگاری» است.

اکنون میتوان باور کرد که اگر «اختلاف پتانسیلی» برای یک شبکه (همانند مورد توضیح داده شده) تعیین شود – یعنی «اختلاف پتانسیلها» در رؤوس  و یعنی بالا و پایین صفحهی مذکور داده شود یا معادل یکدیگر باشند – «شدت جریانی» که در هر سیم جریان مییابد مشخص میشود. این در حقیقت محتوای قضیهی مشهور «کیرشهف» (Kirchhoff) است:

«اگر یک اختلاف پتانسیل بین هر دو نقطه از یک شبکه معین شود پس قوانین «بقا» و «اهم» یگانگی «شدت جریان» در هر سیم را تعیین میکند».

از آنجایی که این قوانین فیزیکی معادل «روابط سازگاری هندسی» است («اختلاف پتانسیل» معین شده مرتبط با ابعاد عمودی مستطیل) اثبات اینکه سیستم  دارای جوابی منحصر بهفرد است بهنظر میرسد نتیجهای فرعی از قضیهی «کیرشهف» باشد.

تقسیم مستطیل

اکنون اجازه دهید مسألهی تقسیم مستطیل به مربعها را دوباره بررسی کنیم.

اولاً - یاداوری کردیم که جواب «سیستم خطی » ممکن است شامل مقادیر «غیرمثبت» باشد. این موارد با ایجاد طول اضلاع مربعها قابلبیان نیست؛ بنابراین چنین جوابهایی از «سیستم خطی » نمیتواند جواب پوشش دادن با مربعهای مذکور باشد.

ثانیاً - به یاد داریم که در حل یک سیستم از معادلههای خطی یعنی با حذف موفقیتامیز مجهولها یا با استفاده از «دترمینانها» (Determinans) یا هر روش دیگر، تنها از عملیات منطقی مثل: جمع، تفریق و تقسیم استفاده میکنیم؛ یعنی اگر همهی ضرایب «سیستم خطی » گویا باشند (در این حالت وقتی یکی از ابعاد مستطیل معلوم باشد یا «اختلاف پتاسیل» شبکه عددی گویا باشد) تمام مقادیر در جواب «سیستم خطی »، «گویا» خواهند بود.

این بدینمعنا است که یک مستطیل که دارای ابعاد «گنگ» ( «گنگ») است نمیتواند با مربعهایی پوشش داده شود.

ممکن است با اعمال یک روش قاعدهمند سعی کنیم مستطیل را پوشش دهیم. بدینترتیب که همهی بخشهای ممکن را به  مربع تقسیم کرده و اجازه دهیم عدد صحیح  افزایش یابد. سپس امکان دارد «سیستم خطی » را برای هر بخش حل کرده و همهی بخشهایی را که دارای جوابهای هندسی ناممکن هستند رها کنیم. حتی بین جوابهای ممکن امکان دارد بسیاری مورد علاقه نباشد (بهعنوان مثال: تقسیم به مربعهایی با اندازهی برابر در مسألهی مورد نظر و ...).

شروطی نظیر موارد ذیل شرایطی را در جوابهای «سیستم خطی » تحمیل میکند:

	الف - هیچ دو مربعی دارای اندازهی یکسان نباشند.
	ب - مستطیل اصلی به مستطیلی کوچکتر تقسیم نشود.

شاید بتوانیم این مسأله را بهصورت لحظهای از زاویهای دیگر بررسی کنیم یعنی همهی شبکههایی را رها کنیم که دربارهی آن از راه قیاس میدانیم جوابهای «سیستم خطی » بهصورت یکی از اشکال ذیل است:

	- از لحاظ هندسی ناممکن
	- یا ایجاد بخشهایی که نمیخواهیم از نوع «الف» و «ب».

ایجاد (یا پوشش دادن با) مربعهای جدید که در آن هیچ دو مربعی دارای اندازهی یکسان نباشد اصطلاحاً «کامل» بودن (Perfect) اطلاق میشود.

«توته» (Tutte) و دوستانش عمدتاً بر روی پوشش دادن «کامل» (Perfect) تمرکز داشتند. آنها قصد داشتند یک «مربع کامل» (Perfect Square) پیدا کنند یعنی مربعی که بهطور «کامل» (Perfect) پوشش داده شود. نتایج تحقیقهایشان منجر به ورود مستطیل (غیرمربع) شد. بدینترتیب این تفکر که «مربع کامل» (Perfect Square) وجود ندارد آغاز شد.

اما به هر حال در سال 1318 (1939 میلادی) محققی از «برلین» بهنام «رولاند اسپراگ» (Roland Sprague) یک و سپس تعداد بیشتری «مربع کامل» کشف کرد.

بدینترتیب توجه محققان بهسمت یافتن «مربع کامل» (Perfect Square) با کمترین تعداد مربعها در آن (کمترین «مرتبه») (Lowest Order) جلب شد. بهطوری که ریاضیدانی آماتور بهنام «ت. هـ. ویلکاکس» (T. H. Wilcocks) اهل «بریکسول» انگلستان موفق شد مرتبهی 24 (24 مربع) را ثبت کرد (شکل 8).

شکل 8 – «مربع کامل یا مرکب» (Perfect/ Compound) با مرتبهی 24.

پوشش دادنی «ساده» (Simple) نامیده میشود اگر آرایش مربعهای بهگونهای باشد که هیچ مربع مستطیل در داخل مربع اولیه ایجاد نشود. «مربع کامل» «ت. هـ. ویلکاکس» (T. H. Wilcocks) «مرکب» (Compound) بود ولی «ساده» (Simple) محسوب نمیشد. بنابراین توجه محققان بر روی «مربع کامل و ساده با کمترین مرتبه« (Simple Perfect Square of Lowest Order) جلب شد.

تا این اواخر، «ت. هـ. ویلکاکس» (T. H. Wilcocks) همچنین موفق به ثبت مرتبهی 37 هم شد. اما به هر حال در سال 1343 (1964 میلادی) دکتر «جان ویلسون» (John Wilson) از دانشگاه «واترلو» (Waterloo) – که یکی از دانشجویان «توته» (Tutte) محسوب میشد – با استفاده از کامپیوتر الکترونیکی رتبهی 25 را ثبت کرد (شکل 9) و یکی از رکوردداران در این زمینه محسوب میشود.

با استفاده از کامپیوتر نشان داده شده است که هیچ «مربع کاملی» با مرتبهی کمتر از 20 اعم از «ساده» یا نوع دیگر وجود ندارد. بنابراین ثابت شد فضای زیادی برای تحقیق در جهت بالا بردن این رکورد موجود نیست.

یک قضیه

محققانی که در زمینهی «مربعهای کامل» تحقیقهای بیشماری انجام دادهاند معتقدند پوشش دادن مستطیلها با اضلاع غیر هماندازه کار مشکلتری است. این مطلب را با ذکر قضیهی ذیل پایان میدهیم:

«غیرممکن است یک جعبهی مستطیلی را با تعداد محدودی از مربعهای غیر هماندازه پر کرد».

شکل 9 - «مربع کامل ساده» (Simple Perfect Square) با مرتبهی 25.

برای اثبات قضیهای که ذکر شد باید گفت: هر بستهبندی موفق از جعبهها، منجر به پوشش دادن سطح زیرین جعبه با مکعبهایی میشود که سطح زیرینشان با سطح زیرین مکعب مستطیل یکسان باشد.

کوچکترین مکعب  بین مکعبهایی که سطح زیرین جعبه را پوشش میدهند مطمئناً یک وجه عمودی جعبه را لمس نخواهند کرد. بنابراین باید حتی کوچکتر از مکعبی باشند که سطح زیرین جعبه را لمس میکند (شکل 10).

شکل 10 – نگاه از سطح زیرین مستطیلی جعبه.

کوچکترین مکعب در سطح زیرین جعبه آشکارا در مرکز سطح زیرین بوده و باید هر ضلعش با مکعبهای بزرگتر در تماس باشد. پس سطح بالایی این مکعب بهطور کامل محصور شده است (شکل 11). برای پوشش دادن این سطح بالایی حتی به مکعبهای کوچکتری نیاز است.

شکل 11.

کوچکترین مکعب بین مکعبهای سطح بالایی ، دوباره در بخش مرکزی با مکعبهای بزرگتر محصور میشود. بنابراین حتی مکعبهای کوچکتر هنوز باید در لایهی سوم بر بالای این مکعب داخلی محصور وجود داشته باشند. این استدلال - بدون اینکه انتهایی داشته باشد – ادامه مییابد و نشان میدهد که تعداد مکعبهایی که باید بهکار برده شوند بیپایان است.

چند نتیجه

نتیجهی 1 - میتوان نشان داد مستطیلی وجود دارد که میتوان به  مربع غیر هماندازه تقسیم کرد که در آن  بزرگتر از 8 است بهعنوان مثال: .

شکل 12.

نتیجهی 2 – در پوشش دادن یک مثلث متساویالاضلاع با مثلثهای متساویالاضلاع غیر هم اندازه میتوان نشان داد:

	- کوچکترین مثلث متساویالاضلاع  که سطح زیرین مثلث اولیه را لمس میکند آن را تنها در «یک نقطه» لمس خواهد کرد (شکل 13).   شکل 13.
	- کوچکترین مثلث متساویالاضلاع که سطح بالایی را لمس میکند آن را تنها در «یک نقطه» لمس خواهد کرد (شکل 14).   شکل 14.
	- غیرممکن است یک مثلث متساویالاضلاع را با مثلثهای متساویالاضلاع غیر هم اندازه – که هر دوتای آن یکسان نباشند – پوشش داد. یاداوری – نتیجهی آخر بهعنوان یک قضیه توسط «توته» (Tutte) در سال 1327 (1948 میلادی) اثبات شد. به نقل از :  http://www.roshd.ir