قضیه لاگرانژ

اگر یک گروه متناهی و باشد و که آنگاه .

اثبات:
می دانیم تعداد اعضای همدسته چپ زیرگروه ، با یکدیگر برابر است. یعنی :

همچنین می‌دانیم گروه توسط همدسته‌های دو به دو متمایز ، افراز میشود ، لذا:

با توجه به اینکه ؛ پس تعداد متناهی همدسته چپ ، مثلاً تا وجود دارند که :

بطوریکه اشتراک ها است
بنابراین:

شاخص.

عدد که در قضیه لاگرانژ مطرح شد، تعداد همدسته های چپ متمایز در را معرفی می‌نماید . را اندیس (شاخص یا نشان ) در می‌نامند و آن را با نماد نمایش می‌دهند.
لازم به ذکر است که این تعریف برای همدسته‌های راست متمایز نیز درست است.

نتیجه.

1. اگر و گروه متناهی باشد ، آنگاه
2. مرتبه هر عضو گروه متناهی ، مانند ، مرتبه را عاد میکند. یعنی
3. هر گاه گروه متناهی باشد ، بطوریکه و عددی اول باشد ، آنگاه یک گروه دوری است و زیرگروه محض نا‌بدیهی ندارد. (تنها زیرگروه محض آن ، تولید شده توسط عنصر خنثی ، یعنی است)

نکته.

عکس قضیه لاگرانژ همواره درست نیست.