همنهشتی

همنهشتی

---------------------------------------------------------------------------------------------------

آیا می دانید همنهشتی در اعداد طبیعی به چه معناست ؟

شما از لحاظ قد در کدام دسته قرار می گیرید ؟ بلند ، متوسط یا کوتاه. مثلا اگر شما و دوستتان در دسته افراد با قد متوسط باشید شما دو نفر از لحاظ کمیت قد با هم برابرید. اگر از این به بعد با هم قرار بگذاریم که برابری دو انسان به معنی وجود آنها در یک دسته باشد آنگاه شما با دوستتان برابرید و در واقع همه افرادی که در دسته افراد با قد متوسط قرار دارند با هم برابرند.

حال می خواهیم نوعی برابری میان اعداد طبیعی تعریف کنیم.
از این به بعد دو عدد طبیعی را برابر (یا همنهشت) می گوییم هرگاه باقیمانده تقسیم آنها بر 5 مساوی باشد. با این فرض مثلا 6 و 11 با هم مساویند !! چون باقیمانده تقسیم هر دو آنها بر 5 برابر 1 است. این مطلب را بصورت زیر نمایش می دهیم
11=6 (پیمانه 5)

یکی از ساده ترین کاربرد های همنهشتی در شاخه ای از ریاضیات به نام "نظریه کدگذاری" ظاهر می شود. بعنوان مثال کد ISBN (International Standard Book Number( کتاب را در نظر بگیرید. فرض کنید کد 0-19-859617-0 کد ISBN کتابی باشد. رقم اول این کد نشان دهنده زبانی است که کتاب با آن نوشته شده است دو رقم بعدی یعنی 19 مشخص کننده ناشر آن و شش رقم 859617 شماره کتاب است و رقم آخر طوری انتخاب می شود که در رابطه

صدق کند. که در آن رقم i-ام کد است.( اگر x=10 آنگاه از علامت X در کد استفاده می شود) به نظر شما علت وجود این رقم چیست ؟

سه مقاله ریاضی

آمار 1
 ریاضی و مدیریت ریسک
 نقش ریاضیات در فن آوری نانو

تعامل هنر و ریاضی

انجمن ریاضی آمریکا اعلام کرد که در نتیجه همکاری یک ریاضیدان فرانسوی و یک هنرمند بلژیکی در زمینه تصاویر متحرک ریاضی ، فصل جدید در ترسیم آغاز شده است. این تصاویر متحرک در زمینه تحقیق در مورد نظریه دستگاه های دینامیکی واقعا حیرت انگیزند. حتی انجمن ریاضی آمریکا می گوید که این تصاویر متحرک گرافیکی ، در استفاده از گرافیک رایانه ای برای ارتباط و انجام تحقیقات ریاضی ما را به عصر جدیدی رهنمون می سازند. برخی از این تصاویر در در ذیل مشاهده می کنید.

( برای اطلاعات بیشتر می توانید صفحات مربوط به این خبر را که از خبرنامه انجمن ریاضی نقل شده است از [URL="http://www.4shared.com/file/9229753/1541746f/Pages_from_ims_newsletter_110.html"]اینجا[/URL] دانلود کنید. )

نظریه گروه (Group Theory)

نظریه گروه (Group Theory) : یکی از مباحثی است که در شاخه ای از ریاضیات محض بنام جبر مورد مطالعه قرار می گیرد. (یک گروه یک مجموعه به همراه یک تابع (عمل دوتایی) است در نظریه گروه خواص این مجموعه بررسی می شود)

شیمی و ریاضی

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

به هر مولکول باتوجه به نوع تغییراتی که می کند (تغییراتی مانند دوران ، تقارن و ...) یک گروه نسبت می دهند. سپس مولکول ها را با توجه به نوع گروه ها طبقه بندی می کنند.

حال برای بررسی برخی از خواص یک مولکول جدید ابتدا گروه مربوط به آن را بدست می آورند و سپس بررسی می کنند که به کدام دسته تعلق دارد و بعد از روی خواص مولکولهای آن دسته به خواص مولکول جدید پی می برند. همین طور از این گروه برای تعیین فعالیت نوری و ممان دو قطبی ( دوستانی که مفهوم این دو اصطلاح را می دانند لطفا در کامل کردن این پست کمک کنند ) یک مولکول استفاده می شود.

هر عمل تقارنی که در مولکول انجام می شود مختصات مثلا x و y و z از اتم را به 'x و 'y و 'z تبدیل می کند. این دوسری مختصات مربوط به اتم را می توان توسط یک سری از معادلات و در نتیجه به صورت ماتریسی فرموله نمود. داشتن اطلاعاتی راجع به ماتریس های اعمال تقارنی مختلف در یک مولکول ، در رفع مسائل مربوط به ساختمان ها شیمیایی مفید خواهد بود.

یکی از مهمترین کاربردهای نظریه گروه پیش گویی انتقالات ممکن در طیف سنجی اتمی و مولکولی است. طیف سنجی علم بررسی اثر اشعه الکترومغناطیس با ماده است. طیف های اتمی و مولکولی اطلاعات جامعی در مورد پخش دانسیته الکترونی ، تقارن مولکولی ، طول پیوندها ، زوایای پیوندی و غیره به ما می دهد.

از اصول نظریه گروه می توان برای حل مسائل مربوط به هیبریداسیون ، ارتعاشات مولکولی ، انرژی عدم استقرار در سیستمهای دارای الکترون Pi و غیره استفاده کرد.

همچنین با استفاده از نظریه گروه در مورد ساختمان الکترونی، پیوند و خصوصیات کمپلکس های فلزات واسطه بحث می شود.
(کمپلکس فلزات واسطه ترکیب است از یک از فلزات واسطه با مولکولی دارای جفت الکترون آزاد)

ریاضیات در فیزیک

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

مکانیک ذرات و سیستم ها (Mechanics of particles and systems) : این بخش از فیزیک حرکت مجموعه ای از ذرات یا اجسام جامد که شامل چرخش و ارتعاش اجرام است را بررسی می کند. حساب تغییرات و معادلات دیفرانسیل در این بخش بکار می رود.
مکانیک سیالات (Fluid mechanics ) : این بخش به مطالعه هوا ، آب و سایر سیالات در حرکت می پردازد. از لحاظ ریاضی شامل مطالعاتی در مورد جواب های معادلات دیفرانسیل و روشهای عددی حل آنها (در مقیاس بزرگ) است.
فیزیک نور و تئوری الکترومغناطیس (Optics, electromagnetic ) : در آن به مطالعه انتشار و توسعه امواج الکترومغناطیس و تداخل و انکسار (شکست ) آنها می پردازد. علاوه بر شاخه های متداول آنالیز از مفاهیمی در هندسه نیز استفاده می کند.
ترمودینامیک کلاسیک (Classical thermodynamics) : موضوع مورد بحث در این بخش انتقال گرما و روند انتقال آن از میان اجسام است. در این بخش از سری های فوریه استفاده می شود.
نظریه کوآنتوم (Quantum Theory ) : به بررسی جواب هایی از معادله دیفرانسیل شرودینگر (Schr?dinger ) و همچنین شامل مطالعاتی در مورد Lie group theory (ترجمه=؟ ) و نظریه کوآنتوم و نظریه انتشار و همچنین مفاهیمی از آنالیز تابعی ، Yang-Mills problems ، Feynman diagrams و ... می باشد.
نظریه نسبیت و جاذبه (Relativity and gravitational theory ) : در بیشتر موارد از هندسه دیفرانسیل ، آنالیز و نظریه گروه ها استفاده می کند.
نظریه سیستمها : بررسی سیر تکاملی سیستمها پیچیده مانند آنهایی که در مهندسی وجود دار ند. برای اینکه بتوانیم یک سیستم را در شرایط مورد نظر خودمان قرارد هیم باید پارامترهای موثر بر آن را بشناسیم و سپس آن پارامتر ها را طوری انتخاب کنیم که شرایط مطلوب ایجاد شود. این بخش از فیزیک به ویژه برای بازشناسی سیستم و تشخیص پارامترهایی که بر توسعه و یا کنترل آن موثرند و همچنین انتخاب مناسبی از آنها بکار می رود. این بخش از فیزیک از معادلات دیفرانسیل ، آنالیز تابعی ، آنالیز عددی و هندسه دیفرانسیل بهره می گیرد.

وابط بین ریاضیات و فیزیک از امروز آغاز نمی شود. مگر اصل ارشمیدسی ( "به هر جسم که در مایعی غوطه ور شود نیرویی برابر با وزن مایع هم حجم ان وارد می شود ") یک جمله ریاضی درباره پدیده فیزیکی نیست ؟ مگر نه این است که فیزیک براثر ابداع حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن 17 به وسیله نیوتن و لایبنیتس به پیشرفت چشمگیری دست یافت ؟ آنچه مهم تر است این است که روابط بین این دو رشته همیشه یک طرفه نیست که اول یک ابزار ریاضی اختراع
شود و سپس در یک مسئله فیزیک بکار رود. یکی از مثال هایی که از بین خیل مثال های متعدد می توان به عنوان شاهد آورد این است : ضمن علاقه و کار روی مسئله انتشار حرارت بود که ریاضیدان فرانسوی ژان باپیست ژوزف فوریه "سری های فوریه" را مطرح کرد ، که از آن پس نقش فوق العاده مهمی در علوم و فنون ایفا کرده اند.
فیزیک قرن 20 پر از فعل و انفعال متقابل با ریاضیات است. از موارد آن می توان دو نظریه عمده را مثال زد که در آغار قرن پدید آمدند ، نظریه نسبیت آینشتاین و مکانیک کوانتیک. نسبیت آینشتاین نظریه ای در گرانش است که به جای نظریه جاذبه نیوتن بر کرسی می نشیند؛ این نظریه مبتنی بر مفاهیمی مربوط به هندسه های نااقلیدسی است. هندسه هایی که در قرن 19 وارد شدند و در آن زمان احدی گمان نمی برد که چنین مباحثی از ریاضیات بتوانند کاربردی در دنیای واقعی داشته باشند.
به همین شکل ، زمانی که ریاضیدانان در سال های 1900 مطالعه " فضاهای هیلبرت " را آغاز کردند هیچکس فکر نمی کرد که بیست سال بعد ریاضیات فضاهای هیلبرت به شکل چارچوب مناسب برای بیان فرمول بندی مکانیک کوانتیک در خواهند آمد در جهت عکس مطالعات بنیادی در نسبیت عمومی و در مکامیک کوانتیک باعث تقویت پژوهش های صرفا ریاضی گردیده اند.
در دهه های 1930 تا 1950 ، قالبی نظری که هم از لحاظ مفاهیم و هم از نظر فنون ریاضی مورد استفاده ، بسیار پیچیده است ، بکار گرفته شد که نظریه کوانتمی میدانها نامیده می شود. در این چارچوب و با یافتن ذرات بنیادی جدید ، فیزیک دانان کشف کردند که دنیای ذرات بنیادی از تقارنهایی برخوردار است. نظریه گروه ها ، شاخه مهمی از ریاضیات است که در قرن 19 تاسیس شد ، در روشن شدن این تقارن ها ( که غالبا تقارن های مجردی هستند ) نقش اساسی ایفا کرده است. بر اثر همین نظریه گروه ها بود که در موارد عدیده ای فیزیک دانان نظری توانستند وجود برخی از ذرات بنیادی را سالها پیش از آنکه در تجربه به دست آید پیشگویی کنند. (!!!!!)

منابع:
[url]http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/beginners.html[/url]

کتاب انفجار ریاضیات

Mathematics WWW Virtual Library

Mathematics WWW Virtual Library

http://www.math.fsu.edu/Virtual/index.php?f=21

ضریب جینی(Gini)

ضریب جینی(Gini)

 ضریب جینی عددی است بین صفر و یک (یا صفر و صد درصد) که در آن صفر به معنی توزیع کاملا برابر درآمد یا ثروت و یک به معنای نابرابری مطلق در توزیع است. دقت کنید که ضریب جینی فقط از برابری عددی صحبت می‌کند و ربطی به عدالت به معنای فلسفی آن ندارد. شکل زیر تصویری از این مفهوم را ارائه می‌کند.

خط چهل و پنج درجه مقدار تجمعی ثروت در شرایط توزیع کاملا برابر را نشان می‌دهد. در این شرایط مثلا سی درصد اول جمعیت کشور سی درصد ثروت جامعه را خواهند داشت و پنجاه درصد بعدی پنجاه درصد را و الخ. در مقابل منحنی لورنتس نشان‌گر توزیع واقعی ثروت در یک جامعه است. طبیعی است که این منحنی از خط قبلی فاصله داشته باشد. منحنی نشان می‌دهد که اگر افراد را بر حسب ثروت‌شان مرتب کنیم بیست درصد پایین مثلا ممکن است ده درصد ثروت را داشته باشند و پنجاه درصد اول سی درصد و الخ. توی شکل فرضی بالا ده درصد آخر حدود سی درصد کل ثروت جامعه را در اختیار دارند.

ضریب جینی در واقع نسبت تفاوت مساحت زیر خط چهل و پنج درجه و زیر منحنی لورنتس (ناحیه زرد) به کل مساحت مثلت را اندازه‌ می‌گیرد. اگر به اول صحبت برگردیم در شرایط توزیع کاملا برابر ثروت منحنی توزیع درست روی خط چهل و پنج درجه می‌افتد و لذا اختلاف مساحت صفر می‌شود. حال اگر توزیع نابرابرتر شود منحنی لورنتس در دهک‌های پایین به محور افقی نزدیک تر می‌شود و از خط فاصله می‌گیرد و لذا ضریب جینی بزرگ‌تر می‌شود. در یک حالت حدی که فقط یک نفر همه ثروت را در اختیار داشته باشد منحنی لورنتس روی محورهای مختصات می‌افتد (99.99 درصد جامعه صفر درصد ثروت را دارند) و لذا ضریب جینی یک می‌شود.

تا جایی که من می‌دانم ضریب جینی برای ایران حدود 45 درصد است که ظاهرا در سال‌های گذشته تغییر چندانی نکرده است. البته من تا به حال منبع رسمی برای این عدد ندیده‌ام این معنی‌اش این نیست که لزوما چنین منبعی وجود ندارد فقط من ندیده‌ام. دقت کنید که محاسبه ضریب جینی کار نسبتا پیچیده‌ای است و نیاز به تخمین‌های آماری دارد و لذا ممکن است اعداد متفاوتی برای آن اعلام شود. ضمن این‌که داده‌های خام آن یعنی ثروت خانوارها که از نمونه‌گیری به دست می‌آید معمولا با خطای نسبتا بزرگی همراه است چون مردم دارایی خود را درست اعلام نمی‌کنند.

در بین کشورهای دنیا کشورهای اسکاندیناوی معمولا به پایین بودن ضریب جینی معروفند و این رقم‌ برای آن‌ها زیر بیست درصد است. در مقابل کشورهای آمریکای لاتین و آفریقا که یک اقلیت فوق العاده ثروت‌مند و قشر کثیری از فقرا را دارند ضریب جینی‌های بالاتر از شصت درصد دارند. وضع ایران چیزی بین این دو سر طیف و نزدیک به آمریکا و هند است.

نوشتن کلمات با ماشین حساب!

در زبان انگلیسی برای هر عددی در ماشین یک حرف انگلیسی را در نظر گرفته اند. این حروف که حروف اصلی هم هستند به وسیله آنها میتوان هر عبارت یا کلمه ای را توسط ماشین حساب نوشت. اما با اندکی ذکاوت! لیست این حروف و اعداد به شکل زیر است: 0=O 1=I 2=S 3=E 4=H 5=Z 6=G 7=L 8=B برای نوشتن حروف به وسیله ماشین حساب باید اعداد را به شکل معکوس نوشت ، سپس ماشین حساب را وارون کرد! بدین معنا که اعداد را از جهت دیگر نوشت ، سپس ماشین حساب را دوران داد تا حروف به شکلی کاملأ خوانا دیده شود. به عنوان مثال برای نوشتن کلمه GOOGLE ، باید اعداد را از حرف E شروع کرد و به G رساند ، یعنی عدد 376006 را وارد ماشین حساب کرد ، سپس ماشین حساب را بر عکس کرد تا به طور واضح واژه google نمایان شود! میتوان از اعداد استفاده کرد. به ویژه به حالت دیجیتالی ماشین حساب این موضوع قابل درک تر میشود. مثال های دیگر: 0.7734 = HELLO GLIB = 8176 LOGS = 5607 همان طور که دیدید در کلمه HELLO و کلیه کلماتی که به O ختم میشوند باید پس از زدن 0 یک . نیز وارد کرد. یکی از دلایلی که در امتحانات درسی اجازه تبادل ماشین حساب داده نمیشود همین ترفند است. برگرفته شده از : http://www.softestan.ir

پاپیروس رایند

طومار پاپیروسی با بلندی 33 سانتیمتر و 565 سانتیمتر عرض که در یک معبد در تبس (Thebes) پیدا شده پرارزش­ترین منبع اطلاعاتی در مورد ریاضیات مصر باستان است.

طومار در بازاری در لوکسور (Luxor) مصر در سال 1858 توسط مرد اسکاتلندی 25 ساله­ای به نام هنری رایند Henry Rhind که بخاطر مداوا به مصر رفته و در آنجا به باستانشناسی علاقمند شده بود، خریداری شد.

پس از مرگ زودهنگام رایند در سن 30 سالگی، در سال 1864 طومار به موزه لندن انتقال یافت که تااکنون در آنجا باقی مانده و از آن زمان به نام پاپیروس رایند یا RMP(Rhind Mathematical Papyrus) نامیده می­شود.

نوشته­های هیروگلیف این طومار در سال 1842 کشف رمز شد درحالیکه لوح گلی بابل که به خط میخی نوشته شده بود پس از آن و در قرن 19 رمزگشائی شد.

متن با تشریح این مساله آغاز می­شود که اَهمس "َAhmes" (تقریبا 1600 قبل از میلاد مسیح و بدینگونه یکی از اولین افرادی که نام او در تاریخ ریاضیات آورده شده ) نویسنده این مطالب است، اما همچنین ذکر شده که او این متن را از نوشته­های باستانی که به احتمال قوی مربوط به 2000 قبل از میلاد مسیح می­شده، رونوشت کرده است.

با وجود اینکه چند نمونه صریح استفاده از ریاضیات کاربردی مانند محاسبات مورد نیاز مساحی و ممیزی، ساختمان و حسابداری، که در برخی از آنها کسرهای مصری بکار رفته، در این پاپیروس وجود دارد، بیشتر مسایل موجود در RMP معماهای محاسباتی هستند.

یکی از این معماها به صورت زیر است:

در 7 خانه 7 گربه زندگی می­کنند. هر گربه 7 موش را می­کشد که هر موش 7 خوشه گندم دارای 7 دانه گندم را خورده است. تعداد نهائی آنها چندتاست؟

این مساله شباهت بسیار زیادی به مساله St. Ives  دارد.

چهار پاپیروس کم اهمیت­تر از پاپیروس رایند (در زمینه ریاضیات) نیز وجود دارند:

پاپیروس مسکو (Moscow Papyrus) و پاپیروس برلین (Berlin Papyrus) (نامگذاری شده براساس محل نگهداری)، پاپیروس Kahun (نامگذاری شده براساس محل یافت شدن) و طومار چرمی (LeatherRoll) (نامگذاری شده براساس جنس طومار).